与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11$ (ただし、$a$ は正の定数) について、以下の問いに答えます。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。 (2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に-4だけ平行移動したグラフを表す関数を $y = g(x)$ とする。$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、さらに $g(x)$ の最小値が4であるとき、$a$ の値を求める。 (3) (2)で求めた $a$ の値とし、$t$ を正の定数とする。$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とする。$M$ を求めよ。また、(2)の $g(x)$ について、$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最小値を $m$ とする。$M + m = 25$ となるような $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11$ (ただし、$a$ は正の定数) について、以下の問いに答えます。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表す。

(2) $y = f(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に-4だけ平行移動したグラフを表す関数を $y = g(x)$ とする。$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表し、さらに $g(x)$ の最小値が4であるとき、$a$ の値を求める。

(3) (2)で求めた $a$ の値とし、$t$ を正の定数とする。$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とする。$M$ を求めよ。また、(2)の $g(x)$ について、$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最小値を $m$ とする。$M + m = 25$ となるような $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 - 2x - a^2 - a + 11 = (x - 1)^2 - 1 - a^2 - a + 11 = (x - 1)^2 - a^2 - a + 10$

よって、頂点の座標は $(1, -a^2 - a + 10)$ です。

(2) $g(x)$ は $f(x)$ を $x$ 軸方向に3, $y$ 軸方向に-4だけ平行移動した関数なので、

$g(x) = f(x - 3) - 4 = (x - 3)^2 - 2(x - 3) - a^2 - a + 11 - 4 = (x^2 - 6x + 9) - 2x + 6 - a^2 - a + 7 = x^2 - 8x - a^2 - a + 22 = (x - 4)^2 - 16 - a^2 - a + 22 = (x - 4)^2 - a^2 - a + 6$

よって、$y = g(x)$ のグラフの頂点の座標は $(4, -a^2 - a + 6)$ です。

$g(x)$ の最小値は $-a^2 - a + 6$ なので、$-a^2 - a + 6 = 4$ となる $a$ を求めます。

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a + 2)(a - 1) = 0$

$a = -2, 1$

$a > 0$ より、$a = 1$ です。

(3) $a = 1$ のとき、$f(x) = x^2 - 2x - 1 - 1 + 11 = x^2 - 2x + 9 = (x - 1)^2 + 8$

$g(x) = (x - 4)^2 - 1 - 1 + 6 = (x - 4)^2 + 4$

$0 \le x \le t$ における $f(x)$ の最大値を $M$ とする。軸は $x=1$ なので、$t$ の値によって場合分けします。

(i) $0 \le t < 1$ のとき、$M = f(0) = 9$

(ii) $t \ge 1$ のとき、$f(0) = 9$, $f(t) = t^2 - 2t + 9$

$t^2 - 2t + 9 = 9$ となる $t$ は、$t(t - 2) = 0$ より、$t = 0, 2$

$t^2 - 2t + 9 > 9$ となる $t$ は、$t > 2$

$M = \begin{cases} 9 & 1 \le t \le 2 \\ t^2 - 2t + 9 & t > 2 \end{cases}$

$0 \le x \le t$ における $g(x)$ の最小値を $m$ とする。軸は $x=4$ なので、$t$ の値によって場合分けします。

(i) $0 \le t \le 4$ のとき、$m = g(4) = 4$

(ii) $t > 4$ のとき、$g(t) = (t - 4)^2 + 4$

$M + m = 25$

(i) $0 \le t \le 1$ のとき、$M = 9$, $m = 4$ なので、$9 + 4 = 13 \ne 25$ 不適

(ii) $1 \le t \le 2$ のとき、$M = 9$

(a) $1 \le t \le 4$ のとき、$m = 4$ なので、$9 + 4 = 13 \ne 25$ 不適

(b) $t > 4$ これはあり得ない。

(iii) $t > 2$ のとき、$M = t^2 - 2t + 9$

(a) $2 < t \le 4$ のとき、$m = 4$ なので、$t^2 - 2t + 9 + 4 = 25$

$t^2 - 2t - 12 = 0$

$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2} = 1 \pm \sqrt{13}$

$2 < t \le 4$ なので、$t = 1 + \sqrt{13}$

(b) $t > 4$ のとき、$m = (t - 4)^2 + 4$ なので、$t^2 - 2t + 9 + (t - 4)^2 + 4 = 25$

$t^2 - 2t + 9 + t^2 - 8t + 16 + 4 = 25$

$2t^2 - 10t + 4 = 0$

$t^2 - 5t + 2 = 0$

$t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

$t > 4$ なので、$t = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標は $(1, -a^2 - a + 10)$

(2) 頂点の座標は $(4, -a^2 - a + 6)$, $a = 1$

(3) $t = 1 + \sqrt{13}$, $t = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$