問題28の次の不等式を解きます。 (1) $|2x-3| < 1$ (2) $|2x+1| > 3$ (3) $|3x-2| \geq 4$ (4) $|x - \frac{1}{3}| \leq \frac{1}{2}$

1. 問題の内容

問題28の次の不等式を解きます。

(1) $|2x-3| < 1$

(2) $|2x+1| > 3$

(3) $|3x-2| \geq 4$

(4) $|x - \frac{1}{3}| \leq \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $|2x-3| < 1$

絶対値の中身の正負で場合分けをする代わりに、絶対値の定義から $-1 < 2x-3 < 1$ を満たす $x$ を求めます。

各辺に3を足すと、

$2 < 2x < 4$

各辺を2で割ると、

$1 < x < 2$

(2) $|2x+1| > 3$

絶対値の定義から、$2x+1 > 3$ または $2x+1 < -3$ を満たす $x$ を求めます。

$2x+1 > 3$ のとき、 $2x > 2$ より $x > 1$

$2x+1 < -3$ のとき、 $2x < -4$ より $x < -2$

したがって、$x < -2$ または $x > 1$

(3) $|3x-2| \geq 4$

絶対値の定義から、$3x-2 \geq 4$ または $3x-2 \leq -4$ を満たす $x$ を求めます。

$3x-2 \geq 4$ のとき、$3x \geq 6$ より $x \geq 2$

$3x-2 \leq -4$ のとき、$3x \leq -2$ より $x \leq -\frac{2}{3}$

したがって、$x \leq -\frac{2}{3}$ または $x \geq 2$

(4) $|x - \frac{1}{3}| \leq \frac{1}{2}$

絶対値の定義から、$-\frac{1}{2} \leq x - \frac{1}{3} \leq \frac{1}{2}$ を満たす $x$ を求めます。

各辺に$\frac{1}{3}$を足すと、

$-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

$-\frac{3}{6} + \frac{2}{6} \leq x \leq \frac{3}{6} + \frac{2}{6}$

$-\frac{1}{6} \leq x \leq \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $1 < x < 2$

(2) $x < -2$ または $x > 1$

(3) $x \leq -\frac{2}{3}$ または $x \geq 2$

(4) $-\frac{1}{6} \leq x \leq \frac{5}{6}$