初項が70、公差が-4である等差数列{an}がある。 (1) 第何項が初めて負の数になるか。 (2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

1. 問題の内容

初項が70、公差が-4である等差数列{an}がある。

(1) 第何項が初めて負の数になるか。

(2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。等差数列の一般項は、初項を $a$、公差を $d$ とすると $a_n = a + (n-1)d$ で表される。

今回の場合は $a = 70$, $d = -4$ なので、

$a_n = 70 + (n-1)(-4) = 70 - 4n + 4 = -4n + 74$

第何項が初めて負の数になるかを求めるので、$a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$-4n + 74 < 0$

$-4n < -74$

$n > \frac{74}{4}$

$n > 18.5$

$n$ は整数なので、初めて負になるのは $n = 19$ のとき。

(2) 初項から第何項までの和が最大であるかを求める。

等差数列の和 $S_n$ は、$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ で表される。

$a = 70$, $d = -4$ を代入すると、

$S_n = \frac{n}{2}(2(70) + (n-1)(-4)) = \frac{n}{2}(140 - 4n + 4) = \frac{n}{2}(144 - 4n) = n(72 - 2n) = 72n - 2n^2$

和が最大となるのは、$a_n \ge 0$ である項までの和である。

$a_n = -4n + 74 \ge 0$

$-4n \ge -74$

$n \le \frac{74}{4} = 18.5$

$n$ は整数なので、$n \le 18$ である。

よって、初項から第18項までの和が最大である。

最大の和を求める。

$S_{18} = 18(72 - 2(18)) = 18(72 - 36) = 18(36) = 648$

3. 最終的な答え

(1) 第19項

(2) 第18項までの和が最大で、その和は648