次の不等式を解きます。 (1) $|x| \le 2$ (2) $|x-1| < 5$ (3) $|x+1| \ge 3$ (4) $|x-2| > 4$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

(1) $|x| \le 2$

(2) $|x-1| < 5$

(3) $|x+1| \ge 3$

(4) $|x-2| > 4$

2. 解き方の手順

(1) $|x| \le 2$

絶対値の定義より、$-2 \le x \le 2$

(2) $|x-1| < 5$

絶対値の定義より、$-5 < x-1 < 5$

各辺に1を足すと、$-5+1 < x < 5+1$

すなわち、$-4 < x < 6$

(3) $|x+1| \ge 3$

絶対値の定義より、$x+1 \ge 3$ または $x+1 \le -3$

$x+1 \ge 3$ のとき、$x \ge 3-1$ すなわち $x \ge 2$

$x+1 \le -3$ のとき、$x \le -3-1$ すなわち $x \le -4$

したがって、$x \le -4$ または $x \ge 2$

(4) $|x-2| > 4$

絶対値の定義より、$x-2 > 4$ または $x-2 < -4$

$x-2 > 4$ のとき、$x > 4+2$ すなわち $x > 6$

$x-2 < -4$ のとき、$x < -4+2$ すなわち $x < -2$

したがって、$x < -2$ または $x > 6$

3. 最終的な答え

(1) $-2 \le x \le 2$

(2) $-4 < x < 6$

(3) $x \le -4$ または $x \ge 2$

(4) $x < -2$ または $x > 6$