行列 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix}$ が固有値0を持つとき、$a$ の値を求めよ。

## 問題6.5

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix}$ が固有値0を持つとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

行列 $A$ が固有値0を持つということは、$A$ の行列式が0であることと同値です。つまり、$\det(A) = 0$ を満たす $a$ の値を求めればよいです。

$\det(A)$ を計算します。

$$\det(A) = \left| \begin{matrix} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 4 & -4 \end{matrix} \right| = a \left| \begin{matrix} a & 0 \\ 4 & -4 \end{matrix} \right| - 0 \left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -4 \end{matrix} \right| + 1 \left| \begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 4 \end{matrix} \right|$$

$$= a(a(-4) - 0(4)) - 0 + 1(1(4) - a(0)) = a(-4a) + 4 = -4a^2 + 4$$

$\det(A) = 0$ より、

$$-4a^2 + 4 = 0$$

$$4a^2 = 4$$

$$a^2 = 1$$

$$a = \pm 1$$

3. 最終的な答え

$a = 1, -1$