与えられた3つの行列について、固有値と実数値の固有値に対応する固有ベクトルを求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列について、固有値と実数値の固有値に対応する固有ベクトルを求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ について:

まず、固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解いて固有値 $\lambda$ を求めます。ここで、$I$ は単位行列です。

$\begin{vmatrix} 4-\lambda & -5 \\ 2 & -3-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(-3-\lambda) - (-5)(2) = -12 -4\lambda +3\lambda + \lambda^2 + 10 = \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda - 2)(\lambda + 1) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = -1$ です。

次に、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めます。

- $\lambda_1 = 2$ のとき:

$(A - \lambda_1 I)v_1 = 0$ を満たすベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 4-2 & -5 \\ 2 & -3-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2x - 5y = 0$ より、$x = \frac{5}{2}y$。

$y = 2$ とすると、$x = 5$。

したがって、$v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ は固有ベクトルです。

- $\lambda_2 = -1$ のとき:

$(A - \lambda_2 I)v_2 = 0$ を満たすベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 4-(-1) & -5 \\ 2 & -3-(-1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -5 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$5x - 5y = 0$ より、$x = y$。

$x = 1$ とすると、$y = 1$。

したがって、$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ は固有ベクトルです。

(2) 行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}$ について:

まず、固有方程式 $|B - \lambda I| = 0$ を解いて固有値 $\lambda$ を求めます。

$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 2 & -2-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(-2-\lambda) - (2)(2) = -2 - \lambda + 2\lambda + \lambda^2 - 4 = \lambda^2 + \lambda - 6 = (\lambda + 3)(\lambda - 2) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = -3$ です。

次に、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求めます。

- $\lambda_1 = 2$ のとき:

$(B - \lambda_1 I)v_1 = 0$ を満たすベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 1-2 & 2 \\ 2 & -2-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y = 0$ より、$x = 2y$。

$y = 1$ とすると、$x = 2$。

したがって、$v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ は固有ベクトルです。

- $\lambda_2 = -3$ のとき:

$(B - \lambda_2 I)v_2 = 0$ を満たすベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ を求めます。

$\begin{pmatrix} 1-(-3) & 2 \\ 2 & -2-(-3) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$4x + 2y = 0$ より、$2x = -y$。

$x = 1$ とすると、$y = -2$。

したがって、$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ は固有ベクトルです。

(3) 行列 $C = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ について:

まず、固有方程式 $|C - \lambda I| = 0$ を解いて固有値 $\lambda$ を求めます。

$\begin{vmatrix} \cos\theta - \lambda & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - \lambda \end{vmatrix} = (\cos\theta - \lambda)^2 - (-\sin\theta)(\sin\theta) = (\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta = \cos^2\theta - 2\lambda\cos\theta + \lambda^2 + \sin^2\theta = \lambda^2 - 2\lambda\cos\theta + 1 = 0$

$\lambda = \frac{2\cos\theta \pm \sqrt{(2\cos\theta)^2 - 4}}{2} = \cos\theta \pm \sqrt{\cos^2\theta - 1} = \cos\theta \pm \sqrt{-\sin^2\theta} = \cos\theta \pm i\sin\theta$

したがって、固有値は $\lambda_1 = \cos\theta + i\sin\theta$ と $\lambda_2 = \cos\theta - i\sin\theta$ です。

実数値の固有値を持つための条件は、$\sin\theta = 0$ であること、すなわち $\theta = n\pi$ ($n$ は整数) である必要があります。

このとき、$\lambda_1 = \lambda_2 = \cos\theta = \pm 1$ です。

- $\lambda = 1$ (すなわち $\theta = 2n\pi$) のとき:

$\begin{pmatrix} \cos\theta - 1 & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この場合、$x$ と $y$ は任意の値を取ることができ、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ のような線形独立なベクトルで表されます。

- $\lambda = -1$ (すなわち $\theta = (2n+1)\pi$) のとき:

$\begin{pmatrix} \cos\theta - (-1) & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - (-1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+1 & 0 \\ 0 & -1+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この場合も、$x$ と $y$ は任意の値を取ることができ、固有ベクトルは $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ のような線形独立なベクトルで表されます。

3. 最終的な答え

(1) 固有値: $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = -1$. 固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

(2) 固有値: $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = -3$. 固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$.

(3) 固有値: $\lambda_1 = \cos\theta + i\sin\theta$, $\lambda_2 = \cos\theta - i\sin\theta$.

実数値の固有値を持つのは、$\theta = n\pi$ のときで、$\lambda = \pm 1$ となります。

固有ベクトルは、$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.