$X^2 = E$となる2次正方行列$X$を全て求めよ。ここで、$E$は2次の単位行列を表す。

1. 問題の内容

$X^2 = E$となる2次正方行列$X$を全て求めよ。ここで、$E$は2次の単位行列を表す。

2. 解き方の手順

$X$を2次正方行列として

$$

X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}

$$

とおく。$X^2 = E$より

$$

X^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd \\ ca+dc & cb+d^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

$$

したがって、次の4つの式が得られる。

$a^2+bc = 1$

$ab+bd = b(a+d) = 0$

$ca+dc = c(a+d) = 0$

$cb+d^2 = 1$

(1) $a+d \neq 0$の場合、$b=0, c=0$であるから、$a^2=1, d^2=1$となる。

したがって、$a=\pm 1, d=\pm 1$である。このとき、

$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $a+d = 0$の場合、$d = -a$である。

$a^2+bc = 1$より、$bc = 1-a^2$

したがって、$X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$となる。

このとき、$bc = 1-a^2$を満たすすべての$a, b, c$が解となる。

最終的に、

$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$ (ただし、$a, b, c$は$bc=1-a^2$を満たす)

3. 最終的な答え

$$

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} (bc=1-a^2)

$$