$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$、$b = |2\sqrt{2}-3|$ とするとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a+b$ の値を求めよ。また、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ の値を求めよ。 (3) $\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$、$b = |2\sqrt{2}-3|$ とするとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a+b$ の値を求めよ。また、$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ の値を求めよ。

(3) $\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ の分母と分子に $\sqrt{2}+1$ をかけます。

$a = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = \frac{3+2\sqrt{2}}{1} = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a+b$ の値を求めます。

$a = 3+2\sqrt{2}$ であり、$b = |2\sqrt{2}-3|$ です。

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$3 = \sqrt{9}$ なので、$2\sqrt{2} < 3$ です。

したがって、$b = 3-2\sqrt{2}$ となります。

$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (3-2\sqrt{2}) = 6$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ の値を求めます。

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b = a+b+2\sqrt{ab}$

$ab = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1$

したがって、$\sqrt{ab} = \sqrt{1} = 1$

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab} = 6 + 2(1) = 8$

(3) $\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ の値を求めます。

$2a = 2(3+2\sqrt{2}) = 6+4\sqrt{2}$

$2b = 2(3-2\sqrt{2}) = 6-4\sqrt{2}$

$\frac{\sqrt{2a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \frac{\sqrt{a}+\sqrt{2b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{2a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) - (\sqrt{a}+\sqrt{2b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$

$= \frac{\sqrt{2a}\sqrt{a} - \sqrt{2a}\sqrt{b} - \sqrt{b}\sqrt{a} + b - (a + \sqrt{a}\sqrt{b} + \sqrt{2b}\sqrt{a} + \sqrt{2b}\sqrt{b})}{a-b}$

$= \frac{\sqrt{2}a - \sqrt{2ab} - \sqrt{ab} + b - a - \sqrt{ab} - \sqrt{2ab} - \sqrt{2}b}{a-b}$

$= \frac{\sqrt{2}(a-b) - a + b - 2\sqrt{ab} - 2\sqrt{2ab}}{a-b}$

$= \frac{\sqrt{2}(a-b) - (a-b) - 2\sqrt{ab}(1+\sqrt{2})}{a-b}$

$= \sqrt{2} - 1 - \frac{2\sqrt{ab}(1+\sqrt{2})}{a-b}$

$a-b = (3+2\sqrt{2}) - (3-2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$

$\frac{2\sqrt{ab}(1+\sqrt{2})}{a-b} = \frac{2(1)(1+\sqrt{2})}{4\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}+2}{4}$

$\sqrt{2}-1 - \frac{2\sqrt{ab}(1+\sqrt{2})}{a-b} = \sqrt{2}-1 - \frac{\sqrt{2}+2}{4} = \frac{4\sqrt{2}-4-\sqrt{2}-2}{4} = \frac{3\sqrt{2}-6}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a+b = 6$, $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = 8$

(3) $\frac{3\sqrt{2}-6}{4}$