箱の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。玉を1個取り出し、取り出した玉を戻さずに、さらに2個目の玉を取り出す。2個目の玉が白玉であるとき、1個目の玉が赤玉である確率を求める。

1. 問題の内容

箱の中に赤玉が5個、白玉が3個入っている。玉を1個取り出し、取り出した玉を戻さずに、さらに2個目の玉を取り出す。2個目の玉が白玉であるとき、1個目の玉が赤玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

求めるべきは条件付き確率 $P(\text{1個目が赤玉} | \text{2個目が白玉})$である。

ベイズの定理を用いて、

$P(\text{1個目が赤玉} | \text{2個目が白玉}) = \frac{P(\text{2個目が白玉} | \text{1個目が赤玉}) P(\text{1個目が赤玉})}{P(\text{2個目が白玉})}$

まず、$P(\text{1個目が赤玉})$を計算する。

$P(\text{1個目が赤玉}) = \frac{5}{8}$

次に、$P(\text{2個目が白玉} | \text{1個目が赤玉})$を計算する。

1個目が赤玉であるとき、残りの玉は赤玉4個、白玉3個なので、

$P(\text{2個目が白玉} | \text{1個目が赤玉}) = \frac{3}{7}$

次に、$P(\text{2個目が白玉})$を計算する。

これは、1個目が赤玉で2個目が白玉である確率と、1個目が白玉で2個目が白玉である確率の和で求められる。

$P(\text{2個目が白玉}) = P(\text{2個目が白玉} | \text{1個目が赤玉}) P(\text{1個目が赤玉}) + P(\text{2個目が白玉} | \text{1個目が白玉}) P(\text{1個目が白玉})$

$P(\text{1個目が白玉}) = \frac{3}{8}$

$P(\text{2個目が白玉} | \text{1個目が白玉}) = \frac{2}{7}$

よって、

$P(\text{2個目が白玉}) = \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{8} + \frac{2}{7} \cdot \frac{3}{8} = \frac{15}{56} + \frac{6}{56} = \frac{21}{56} = \frac{3}{8}$

したがって、

$P(\text{1個目が赤玉} | \text{2個目が白玉}) = \frac{\frac{3}{7} \cdot \frac{5}{8}}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{15}{56}}{\frac{3}{8}} = \frac{15}{56} \cdot \frac{8}{3} = \frac{15 \cdot 8}{56 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{5}{7}$

3. 最終的な答え

5/7