確率変数$X$が二項分布$B(n, p)$に従い、その分散が$\frac{8}{9}$である。また、$X$が値$n-1$をとる確率は、$X$が値$n$をとる確率の8倍である。このとき、$n$と$p$の値を求め、さらに$E(X^2 - 3X + 5)$の値を求める。

1. 問題の内容

確率変数$X$が二項分布$B(n, p)$に従い、その分散が$\frac{8}{9}$である。また、$X$が値$n-1$をとる確率は、$X$が値$n$をとる確率の8倍である。このとき、$n$と$p$の値を求め、さらに$E(X^2 - 3X + 5)$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 二項分布$B(n, p)$に従う確率変数$X$の分散は$np(1-p)$で与えられるので、

$np(1-p) = \frac{8}{9}$

である。

また、$X$が$n-1$をとる確率は$nC_{n-1}p^{n-1}(1-p)^{n-(n-1)} = n p^{n-1} (1-p)$であり、$X$が$n$をとる確率は$nC_n p^n (1-p)^{n-n} = p^n$である。

問題文より、$X$が値$n-1$をとる確率は、$X$が値$n$をとる確率の8倍なので、

$n p^{n-1} (1-p) = 8 p^n$

$p \ne 0$より、$p^{n-1}$で割ると、

$n (1-p) = 8p$

$n = 8p + np$

$n(1-p) = 8p$

$1-p = \frac{8p}{n}$

$n = \frac{8}{9}$を代入して

$np(1-p) = \frac{8}{9}$

より

$n \times p \times \frac{8p}{n} = \frac{8}{9}$

$8 p^2 = \frac{8}{9}$

$p^2 = \frac{1}{9}$

$p = \frac{1}{3}$ ($p > 0$より)

$n (1 - \frac{1}{3}) = 8 \times \frac{1}{3}$

$n \times \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

$n = 4$

(2) $E(X^2 - 3X + 5) = E(X^2) - 3E(X) + 5$

二項分布$B(n, p)$に従う確率変数$X$の期待値は$E(X) = np$で与えられるので、

$E(X) = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

また、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$より、$E(X^2) = V(X) + (E(X))^2$

$V(X) = \frac{8}{9}$なので、

$E(X^2) = \frac{8}{9} + (\frac{4}{3})^2 = \frac{8}{9} + \frac{16}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$

$E(X^2 - 3X + 5) = \frac{8}{3} - 3 \times \frac{4}{3} + 5 = \frac{8}{3} - \frac{12}{3} + \frac{15}{3} = \frac{11}{3} = \frac{22}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $n = 4$, $p = \frac{1}{3}$

(2) $E(X^2 - 3X + 5) = \frac{22}{6}$