11人の生徒の中から5人の委員を選ぶ方法について、以下の2つの条件における選び方の総数を求める問題です。 (1) 2人の生徒A, Bがともに含まれるように選ぶ方法。 (2) 生徒AまたはBの少なくとも1人が含まれるように選ぶ方法。

1. 問題の内容

11人の生徒の中から5人の委員を選ぶ方法について、以下の2つの条件における選び方の総数を求める問題です。

(1) 2人の生徒A, Bがともに含まれるように選ぶ方法。

(2) 生徒AまたはBの少なくとも1人が含まれるように選ぶ方法。

2. 解き方の手順

(1) 2人の生徒A, Bがともに含まれる場合

まず、AとBを委員として確定させます。残りの委員の数は $5 - 2 = 3$ 人です。

また、残りの生徒の数は $11 - 2 = 9$ 人です。

したがって、9人の中から3人を選ぶ組み合わせを計算します。これは組み合わせの記号を使って $_{9}C_{3}$ と表されます。

$_{9}C_{3} = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

(2) 生徒AまたはBの少なくとも1人が含まれる場合

この問題は、Aが含まれる場合、Bが含まれる場合、AとBの両方が含まれる場合の3つのケースを考慮する必要があります。

ただし、直接計算するよりも、全体からAもBも含まれない場合を引く方が簡単です。

まず、11人から5人を選ぶすべての組み合わせを計算します。これは $_{11}C_{5}$ と表されます。

$_{11}C_{5} = \frac{11!}{5!(11-5)!} = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$

次に、AもBも含まれない場合を計算します。これは、AとBを除いた9人から5人を選ぶ組み合わせなので、 $_{9}C_{5}$ と表されます。

$_{9}C_{5} = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 9 \times 2 \times 7 = 126$

したがって、AまたはBの少なくとも1人が含まれる場合は、全体からAもBも含まれない場合を引きます。

$462 - 126 = 336$

3. 最終的な答え

(1) 84通り

(2) 336通り