袋の中に赤球が4個、白球が2個入っている。この袋から球を1個取り出して色を確認した後、袋に戻すという試行を5回繰り返す。 (1) 赤球が2回取り出される確率を求めよ。 (2) 白球が4回以上取り出される確率を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

袋の中に赤球が4個、白球が2個入っている。この袋から球を1個取り出して色を確認した後、袋に戻すという試行を5回繰り返す。

(1) 赤球が2回取り出される確率を求めよ。

(2) 白球が4回以上取り出される確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

1回の試行で赤球が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$である。5回の試行のうち2回赤球が出る確率は、二項分布に従う。

確率は、

$${}_5 C_2 \left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{27} = 10 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{27} = \frac{40}{243}$$

(2)

1回の試行で白球が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$である。5回の試行のうち4回以上白球が出る確率を求める。

4回白球が出る確率と5回白球が出る確率をそれぞれ計算し、足し合わせる。

4回白球が出る確率は、

$${}_5 C_4 \left( \frac{1}{3} \right)^4 \left( \frac{2}{3} \right)^1 = 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$$

5回白球が出る確率は、

$${}_5 C_5 \left( \frac{1}{3} \right)^5 \left( \frac{2}{3} \right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{243} \cdot 1 = \frac{1}{243}$$

したがって、白球が4回以上取り出される確率は、

$$\frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{40}{243}$

(2) $\frac{11}{243}$