(1) 2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の積が6の倍数になる確率を求める。 (2) 3個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の積が6の倍数になる確率を求める。 (3) $n$個のサイコロ($n=2, 3, \dots$)を同時に投げるとき、出た目の積が6の倍数になる確率を求める。

1. 問題の内容

(1) 2個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の積が6の倍数になる確率を求める。

(2) 3個のサイコロを同時に投げるとき、出た目の積が6の倍数になる確率を求める。

(3) $n$個のサイコロ($n=2, 3, \dots$)を同時に投げるとき、出た目の積が6の倍数になる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2個のサイコロの場合

* 全事象は $6 \times 6 = 36$ 通り。

* 積が6の倍数にならない場合を考える。

* 6の約数でない目は1, 2, 3, 4, 5。

* 目の積が6の倍数にならないのは、(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,1), (2,2), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5) の23通り。

* 積が6の倍数になる場合は $36 - 23 = 15$通り。

* 確率は $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$。

(2) 3個のサイコロの場合

* 全事象は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通り。

* 積が6の倍数にならない場合を考える。

* あるサイコロの目が6の倍数（すなわち6）であるとき、積は必ず6の倍数になる。したがって、すべてのサイコロが6以外の目である場合を考える。

* さらに、3の倍数（3）と2の倍数（2,4）の両方が少なくとも1つずつ含まれていない場合を考える。

* 「少なくとも〜」の考え方より、全体から〜でない場合を引く。

* 6の倍数にならない場合：

* すべての目が6以外の場合: $5^3 = 125$

* このうち、目の積が2の倍数にならない場合（すべての目が奇数）：$3^3=27$

* このうち、目の積が3の倍数にならない場合（すべての目が3の倍数でない）：$4^3=64$

* 目の積が2の倍数にも3の倍数にもならない場合（すべての目が奇数かつ3の倍数でない）：$2^3=8$

* したがって、6の倍数にならない確率は$\frac{5^3 - 3^3-4^3+2^3}{216} = \frac{125-(27+64-8)}{216}=\frac{125-83}{216}=\frac{42}{216}$

* 積が6の倍数になる場合の数は $216- (5^3) + (2^3) = 216 - 125 + 8 = 99$ 通り

* 確率は $\frac{216-4 \times 5 \times 5 \times 5}{6 \times 6 \times 6} = 1-\frac{125}{216} = \frac{91}{216}$

(3) $n$個のサイコロの場合

* すべてのサイコロの目が6以外のとき、目の積は6の倍数にならない。

* 全事象は $6^n$ 通り。

* 目の積が6の倍数にならない確率は、少なくとも1つも2の倍数と3の倍数が含まれない場合である。

* 2の倍数ではない確率は$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

* 3の倍数ではない確率は$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。

* 6の倍数にならない確率は、2の倍数でないか、または3の倍数でないかのどちらかである場合である。

* 2の倍数でも3の倍数でもない確率は$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

* 6の倍数にならない確率は $(\frac{5}{6})^n$

* したがって、6の倍数になる確率は $1-(\frac{5}{6})^n$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{12}$

(2) $\frac{91}{216}$

(3) $1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n$