40人の中に同じ誕生日の人が少なくとも一組いる確率を求める問題です。

1. 問題の内容

40人の中に同じ誕生日の人が少なくとも一組いる確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

同じ誕生日の人がいる確率を直接計算する代わりに、全員の誕生日が異なる確率を計算し、それを1から引くことで求めるのが一般的です。

* まず、40人全員の誕生日が異なる確率を計算します。

* 1人目は365日の中で自由に誕生日を選べます。

* 2人目は1人目と異なる誕生日である必要があるので、364日の中から選びます。

* 3人目は1人目と2人目と異なる誕生日である必要があるので、363日の中から選びます。

* これを40人目まで繰り返します。

* 40人全員の誕生日が異なる場合の数は、

$365 \times 364 \times 363 \times \dots \times (365 - 40 + 1) = 365 \times 364 \times 363 \times \dots \times 326$ となります。

* 40人全員の誕生日の組み合わせの総数は $365^{40}$です。

* したがって、40人全員の誕生日が異なる確率は、

$\frac{365 \times 364 \times 363 \times \dots \times 326}{365^{40}} = \frac{_{365}P_{40}}{365^{40}}$ となります。

これを計算するのは大変なので、以下のように変形します。

$\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{326}{365}$

* 同じ誕生日を持つ人が少なくとも一組いる確率は、1から全員の誕生日が異なる確率を引いたものになります。

$1 - (\frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{326}{365})$

この計算を電卓やプログラミング言語で行うと、約0.89123になります。

3. 最終的な答え

40人の中に同じ誕生日の人がいる確率は約0.89123（約89.123%）です。