10本中3本の当たりがあるくじを、復元抽出で5回引くとき、3回だけ当たりが出る確率を求めます。

1. 問題の内容

10本中3本の当たりがあるくじを、復元抽出で5回引くとき、3回だけ当たりが出る確率を求めます。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布の問題です。

1回のくじ引きで当たりが出る確率を $p$、外れる確率を $q$ とします。

$p = \frac{3}{10}$

$q = 1 - p = \frac{7}{10}$

5回のくじ引きで3回当たりが出る確率は、二項分布の公式を用いて計算できます。

二項分布の公式は以下の通りです。

$P(X=k) = {}_n C_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

ここで、

$n$ は試行回数（今回は5回）

$k$ は成功回数（今回は3回）

$p$ は成功確率（今回は $\frac{3}{10}$）

$q$ は失敗確率（今回は $\frac{7}{10}$）

${}_n C_k$ は二項係数で、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算されます。

今回の問題に当てはめると、

$n = 5$

$k = 3$

$p = \frac{3}{10}$

$q = \frac{7}{10}$

${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、求める確率は

$P(X=3) = {}_5 C_3 \cdot (\frac{3}{10})^3 \cdot (\frac{7}{10})^2$

$= 10 \cdot (\frac{3}{10})^3 \cdot (\frac{7}{10})^2$

$= 10 \cdot \frac{27}{1000} \cdot \frac{49}{100}$

$= 10 \cdot \frac{27 \times 49}{100000}$

$= \frac{10 \times 1323}{100000}$

$= \frac{13230}{100000}$

$= \frac{1323}{10000} = 0.1323$

3. 最終的な答え

求める確率は $\frac{1323}{10000}$ または $0.1323$ です。