正二十面体のサイコロがあり、各数字（0から9）の目が2面ずつある。このサイコロを5回振るとき、以下の確率を求めよ。 (8) 5回とも7以上の目が出る確率。 (9) 5以下の目がちょうど3回出る確率。

1. 問題の内容

正二十面体のサイコロがあり、各数字（0から9）の目が2面ずつある。このサイコロを5回振るとき、以下の確率を求めよ。

(8) 5回とも7以上の目が出る確率。

(9) 5以下の目がちょうど3回出る確率。

2. 解き方の手順

(8)

まず、7以上の目が出る確率を計算する。7以上の目は7,8,9の3つであり、それぞれ2面ずつあるので、合計6面。

したがって、7以上の目が出る確率は $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ である。

5回とも7以上の目が出る確率は、$(\frac{3}{10})^5$ である。

(9)

5以下の目が出る確率を計算する。5以下の目は0,1,2,3,4,5の6つであり、それぞれ2面ずつあるので、合計12面。

したがって、5以下の目が出る確率は $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ である。

5以下の目が3回出る確率は、二項分布に従う。

確率 $p = \frac{3}{5}$ で成功する試行を5回行うとき、3回成功する確率は、

$_{5}C_{3} p^3 (1-p)^{5-3} = _{5}C_{3} (\frac{3}{5})^3 (\frac{2}{5})^2$

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

したがって、確率は、

$10 \times (\frac{3}{5})^3 \times (\frac{2}{5})^2 = 10 \times \frac{27}{125} \times \frac{4}{25} = \frac{10 \times 27 \times 4}{125 \times 25} = \frac{1080}{3125} = \frac{216}{625}$

3. 最終的な答え

(8) $(\frac{3}{10})^5 = \frac{243}{100000}$

(9) $\frac{216}{625}$