あるクラスにA組(10人)とB組(8人)がいます。 (1) クラス全体から4人を選ぶ方法は何通りあるか。 (2) A組から2人、B組から2人を選ぶ方法は何通りあるか。 (3) 選ばれた4人にA組とB組の生徒が少なくとも1人ずつ含まれる確率を求めよ。

はい、承知いたしました。問題1と問題2について、それぞれ解説します。

**問題1**

1. 問題の内容

あるクラスにA組(10人)とB組(8人)がいます。

(1) クラス全体から4人を選ぶ方法は何通りあるか。

(2) A組から2人、B組から2人を選ぶ方法は何通りあるか。

(3) 選ばれた4人にA組とB組の生徒が少なくとも1人ずつ含まれる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) クラス全体から4人を選ぶ方法

クラス全体の人数は10 + 8 = 18人です。

18人から4人を選ぶ組み合わせなので、

$_{18}C_4 = \frac{18!}{4!(18-4)!} = \frac{18!}{4!14!} = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3060$ 通り

(2) A組から2人、B組から2人を選ぶ方法

A組から2人を選ぶ方法は$_{10}C_2 = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ 通り

B組から2人を選ぶ方法は$_{8}C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ 通り

したがって、A組から2人、B組から2人を選ぶ方法は、45 × 28 = 1260 通り

(3) 選ばれた4人にA組とB組の生徒が少なくとも1人ずつ含まれる確率

まず、4人を選ぶすべての組み合わせは(1)で求めた3060通りです。

A組とB組の生徒が少なくとも1人ずつ含まれるということは、

(i) A組から1人、B組から3人

(ii) A組から2人、B組から2人

(iii) A組から3人、B組から1人

のいずれかのパターンであるということです。

(ii)は既に計算済みで1260通りです。

(i) A組から1人、B組から3人を選ぶ方法

$_{10}C_1 \times _{8}C_3 = 10 \times \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 56 = 560$ 通り

(iii) A組から3人、B組から1人を選ぶ方法

$_{10}C_3 \times _{8}C_1 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \times 8 = 120 \times 8 = 960$ 通り

A組とB組の生徒が少なくとも1人ずつ含まれる選び方は、

1260 + 560 + 960 = 2780 通り

したがって、確率は $\frac{2780}{3060} = \frac{139}{153}$

3. 最終的な答え

(1) 3060通り

(2) 1260通り

(3) $\frac{139}{153}$

**問題2**

1. 問題の内容

4人の生徒の数学(X)と物理(Y)の点数が以下の表で与えられています。

生徒番号 | 数学(X) | 物理(Y)

------- | -------- | --------

1 | 80 | 60

2 | 70 | 70

3 | 50 | 60

4 | 90 | 80

(1) 数学の点数Xの期待値E[X]と分散V(X)を求めよ。

(2) 物理の点数Yの期待値E[Y]と分散V(Y)を求めよ。

(3) 数学の点数Xと物理の点数Yの共分散Cov(X, Y)を求めよ。

(4) 数学の点数Xと物理の点数Yの相関係数$\rho_{X,Y}$を小数点第3位で四捨五入して求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数学の点数Xの期待値と分散

期待値 $E[X] = \frac{80+70+50+90}{4} = \frac{290}{4} = 72.5$

分散 $V(X) = E[(X - E[X])^2] = \frac{(80-72.5)^2 + (70-72.5)^2 + (50-72.5)^2 + (90-72.5)^2}{4} \\ = \frac{7.5^2 + (-2.5)^2 + (-22.5)^2 + 17.5^2}{4} = \frac{56.25 + 6.25 + 506.25 + 306.25}{4} = \frac{875}{4} = 218.75$

(2) 物理の点数Yの期待値と分散

期待値 $E[Y] = \frac{60+70+60+80}{4} = \frac{270}{4} = 67.5$

分散 $V(Y) = E[(Y - E[Y])^2] = \frac{(60-67.5)^2 + (70-67.5)^2 + (60-67.5)^2 + (80-67.5)^2}{4} \\ = \frac{(-7.5)^2 + 2.5^2 + (-7.5)^2 + 12.5^2}{4} = \frac{56.25 + 6.25 + 56.25 + 156.25}{4} = \frac{275}{4} = 68.75$

(3) 共分散

$Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = \frac{(80-72.5)(60-67.5) + (70-72.5)(70-67.5) + (50-72.5)(60-67.5) + (90-72.5)(80-67.5)}{4} \\ = \frac{7.5 \times (-7.5) + (-2.5) \times 2.5 + (-22.5) \times (-7.5) + 17.5 \times 12.5}{4} \\ = \frac{-56.25 - 6.25 + 168.75 + 218.75}{4} = \frac{325}{4} = 81.25$

(4) 相関係数

相関係数 $\rho_{X,Y} = \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{V(X)V(Y)}} = \frac{81.25}{\sqrt{218.75 \times 68.75}} = \frac{81.25}{\sqrt{15046.875}} \approx \frac{81.25}{122.6657} \approx 0.6624$

小数点第3位で四捨五入すると0.662

3. 最終的な答え

(1) E[X] = 72.5, V(X) = 218.75

(2) E[Y] = 67.5, V(Y) = 68.75

(3) Cov(X, Y) = 81.25

(4) $\rho_{X,Y}$ = 0.662