金貨と銀貨を同時に投げる試行を5回繰り返す。金貨が裏なら0点、金貨が表で銀貨が裏なら1点、金貨が表で銀貨も表なら2点が与えられる。5回の試行で得られる合計点数をXとする。 (1) X=1となる確率を求めよ。 (2) X=3となる確率を求めよ。 (3) Xが偶数となる確率を求めよ。ただし、0は偶数とする。

1. 問題の内容

金貨と銀貨を同時に投げる試行を5回繰り返す。金貨が裏なら0点、金貨が表で銀貨が裏なら1点、金貨が表で銀貨も表なら2点が与えられる。5回の試行で得られる合計点数をXとする。

(1) X=1となる確率を求めよ。

(2) X=3となる確率を求めよ。

(3) Xが偶数となる確率を求めよ。ただし、0は偶数とする。

2. 解き方の手順

(1) X=1となる確率

X=1となるのは、5回の試行のうち1回だけ金貨が表で銀貨が裏になり、残りの4回は金貨が裏になる場合である。

1回の試行で、金貨が表で銀貨が裏になる確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ である。

1回の試行で、金貨が裏になる確率は $\frac{1}{2}$ である。

したがって、X=1となる確率は、

$P(X=1) = {}_5 C_1 \times (\frac{1}{4})^1 \times (\frac{1}{2})^4 = 5 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{16} = \frac{5}{64}$

(2) X=3となる確率

X=3となるのは、次の2つの場合がある。

(a) 金貨が表で銀貨が裏となるのが3回で、残りの2回は金貨が裏となる。

(b) 金貨が表で銀貨が表となるのが1回、金貨が表で銀貨が裏となるのが1回、残りの3回は金貨が裏となる。

(a)の確率は、${}_5 C_3 (\frac{1}{4})^3 (\frac{1}{2})^2 = 10 \times \frac{1}{64} \times \frac{1}{4} = \frac{10}{256} = \frac{5}{128}$

(b)の確率は、${}_5 C_1 \times {}_4 C_1 \times (\frac{1}{4})^1 \times (\frac{1}{4})^1 \times (\frac{1}{2})^3 = 5 \times 4 \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{8} = \frac{20}{128} = \frac{5}{32}$

したがって、X=3となる確率は、

$P(X=3) = \frac{5}{128} + \frac{5}{32} = \frac{5}{128} + \frac{20}{128} = \frac{25}{128}$

(3) Xが偶数となる確率

各試行で得られる点数は0, 1, 2のいずれかであり、それぞれの確率は $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{4}$ である。

Xが偶数になるのは、X = 0, 2, 4, 6, 8, 10 の場合である。

Xが奇数になるのは、X = 1, 3, 5, 7, 9 の場合である。

各試行で得られる点数が偶数である確率は $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$、奇数である確率は $\frac{1}{4}$ である。

Xが偶数である確率を$P_{even}$, 奇数である確率を$P_{odd}$とおくと、

$P_{even} + P_{odd} = 1$が成り立つ。

それぞれの試行で得られる点数を$a_i$とする。

$X = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5$

$X$が偶数になる確率を$p$, 奇数になる確率を$q$とする。

1回の試行で、偶数点になる確率は$P(a_i = 0 \text{ or } 2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

奇数点になる確率は$P(a_i = 1) = \frac{1}{4}$

$(\frac{3}{4} + \frac{1}{4})^5 = 1$

$(\frac{3}{4} - \frac{1}{4})^5 = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$

$P_{even} - P_{odd} = (\frac{3}{4} - \frac{1}{4})^5 = \frac{1}{32}$

$P_{even} + P_{odd} = 1$

$2P_{even} = 1 + \frac{1}{32} = \frac{33}{32}$

$P_{even} = \frac{33}{64}$

3. 最終的な答え

(1) X=1となる確率は、$\frac{5}{64}$

(2) X=3となる確率は、$\frac{25}{128}$

(3) Xが偶数となる確率は、$\frac{33}{64}$