赤球3個と白球5個が入った袋から2個の球を取り出すとき、 (1) 赤球、白球が1個ずつ取り出される確率を求めよ。 (2) 取り出した赤球の個数をXとするとき、Xの期待値を求めよ。

1. 問題の内容

赤球3個と白球5個が入った袋から2個の球を取り出すとき、

(1) 赤球、白球が1個ずつ取り出される確率を求めよ。

(2) 取り出した赤球の個数をXとするとき、Xの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 赤球、白球が1個ずつ取り出される確率は、

まず、全事象の場合の数を計算します。

全事象は、8個の球から2個を取り出す組み合わせなので、

$_{8}C_{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$通り

赤球1個、白球1個を取り出す場合の数を計算します。

赤球3個から1個選ぶ組み合わせは$_{3}C_{1} = 3$通り

白球5個から1個選ぶ組み合わせは$_{5}C_{1} = 5$通り

よって、赤球1個、白球1個を取り出す組み合わせは$3 \times 5 = 15$通り

したがって、求める確率は、

$\frac{15}{28}$

(2) Xの期待値を求めます。

Xは取り出した赤球の個数なので、Xがとりうる値は0, 1, 2です。

X=0のとき（白球2個）の確率を計算します。

白球5個から2個を取り出す組み合わせは$_{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り

よって、$P(X=0) = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$

X=1のとき（赤球1個、白球1個）の確率は、(1)より

$P(X=1) = \frac{15}{28}$

X=2のとき（赤球2個）の確率を計算します。

赤球3個から2個を取り出す組み合わせは$_{3}C_{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り

よって、$P(X=2) = \frac{3}{28}$

Xの期待値は、$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$

$E(X) = 0 \times \frac{5}{14} + 1 \times \frac{15}{28} + 2 \times \frac{3}{28} = \frac{15}{28} + \frac{6}{28} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{15}{28}$

(2) $\frac{3}{4}$