問題23: "coffee"の6文字を並べる確率を求めます。 (1) 横1列に並べるとき、左端が子音であり、かつ母音と子音が交互に並ぶ確率を求めます。 (2) 円形に並べるとき、母音と子音が交互に並ぶ確率を求めます。

1. 問題の内容

問題23: "coffee"の6文字を並べる確率を求めます。

(1) 横1列に並べるとき、左端が子音であり、かつ母音と子音が交互に並ぶ確率を求めます。

(2) 円形に並べるとき、母音と子音が交互に並ぶ確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 横1列に並べる場合

coffeeの文字は、c, o, f, f, e, e です。

子音はc, f, f の3つ、母音はo, e, e の3つです。

まず、左端が子音であるという条件から考えます。左端はcまたはfのどちらかです。

母音と子音が交互に並ぶには、子音-母音-子音-母音-子音-母音という順序になる必要があります。

左端が子音の場合、並び方は以下のようになります。

C _ _ _ _ _ or F _ _ _ _ _

考えられる並び方をすべて列挙します。

- 子音 (C, F, F)

- 母音 (O, E, E)

左端が子音のパターンから母音と子音が交互に並ぶためには、次の形になる必要があります。

子 - 母 - 子 - 母 - 子 - 母

子音３つ(C, F, F)、母音３つ(O, E, E) を並べる総数は、6!/(2!2!) = 720 / 4 = 180通りです。

左端が子音になる確率は3/6 = 1/2 です。

左端が子音で、母音と子音が交互になるパターンを考えます。

左端がCの場合: C - O - F - E - F - E or C - E - F - O - F - E, 他にもEの並び順を考えると

C - O - F - E - F - E, C - O - F - E - E - F, C - O - E - F - E - F

C - E - O - F - F - E, など複雑になります。

直接数え上げることは難しいので、別の考え方をします。

まず、子音と母音を交互に並べることを考えます。

子音3つと母音3つを交互に並べるためには、最初が子音の場合と最初が母音の場合があります。

1. 子音-母音-子音-母音-子音-母音 の順の場合:

子音はC, F, F なので並び方は 3!/2! = 3通り

母音はO, E, E なので並び方は 3!/2! = 3通り

よって 3 * 3 = 9通り

2. 母音-子音-母音-子音-母音-子音 の順の場合:

子音はC, F, F なので並び方は 3!/2! = 3通り

母音はO, E, E なので並び方は 3!/2! = 3通り

よって 3 * 3 = 9通り

合計で 9 + 9 = 18通り。

このうち、左端が子音であるのは9通りです。

全体の並べ方は 6!/(2!2!) = 720/4 = 180通り

よって求める確率は 9/180 = 1/20

(2) 円形に並べる場合

円形に並べるので、(1)で求めた18通りを円順列として考える必要があります。

円順列の場合、回転して同じになるものは同一視します。

母音と子音が交互に並ぶためには、母音と子音の数が同じである必要があります。

coffeeの場合、母音も子音も3つずつなので、交互に並べることが可能です。

(1)より、交互に並べる方法は18通りでした。

円順列なので、6で割ればよいのではないかと考えがちですが、回転対称性があるので単純ではありません。

円順列では (n-1)! 通りですが、ここでは同じ文字があるので注意が必要です。

母音と子音が交互に並ぶ場合は必ず、

子 - 母 - 子 - 母 - 子 - 母

母 - 子 - 母 - 子 - 母 - 子

のいずれかになります。

(1)より、18通りの並べ方が考えられます。

この18通りを円形に並べたとき、回転によって同じになるものを除きます。

詳細な検討が必要ですが、ここでは確率を計算することは難しいです。

3. 最終的な答え

(1) 1/20

(2) (計算困難)