## 問題1：1つのサイコロを6回投げる問題

## 問題1：1つのサイコロを6回投げる問題

1つのサイコロを6回投げるとき、1から6までのすべての目が出る確率を求める問題です。ただし、出る順番は問わず、それぞれの目が出る確率は等しいとします。

## 解き方の手順（問題1）

1. **全事象の数:** 1つのサイコロを6回投げるので、全事象の数は $6^6$ です。

2. **すべての目が出る場合の数:** 1から6のすべての目が出る場合を考えます。これは、6回の試行で6種類の目を並べる順列の問題と考えることができます。まず、6種類の目を並べる並べ方は $6!$ 通りあります。

ただし、例えば「1, 2, 3, 4, 5, 6」と出た場合も、「2, 1, 3, 4, 5, 6」と出た場合も、同じ1から6の目が出ているという点では同じなので、ダブりが発生しています。

6種類の目を並べる順列は $6!$ 通りですが、それぞれの目の出方に重複があるので、これを調整する必要があります。

3. **包除原理の利用:** 1から6の目がすべて出る場合の数を直接数えるのは難しいので、包除原理を利用します。

* 全体から、少なくとも1つの目が出ない場合を引きます。

* 次に、少なくとも2つの目が出ない場合を足します。

* 次に、少なくとも3つの目が出ない場合を引きます。

* これを繰り返します。

4. **計算:**

* 少なくとも1つの目が出ない場合: ${6 \choose 1} \times 5^6$

* 少なくとも2つの目が出ない場合: ${6 \choose 2} \times 4^6$

* 少なくとも3つの目が出ない場合: ${6 \choose 3} \times 3^6$

* 少なくとも4つの目が出ない場合: ${6 \choose 4} \times 2^6$

* 少なくとも5つの目が出ない場合: ${6 \choose 5} \times 1^6$

したがって、1から6のすべての目が出る場合の数は、

$6^6 - {6 \choose 1}5^6 + {6 \choose 2}4^6 - {6 \choose 3}3^6 + {6 \choose 4}2^6 - {6 \choose 5}1^6$

$= 46656 - 6 \times 15625 + 15 \times 4096 - 20 \times 729 + 15 \times 64 - 6 \times 1$

$= 46656 - 93750 + 61440 - 14580 + 960 - 6$

$= 720$

6回の試行で1から6のすべてが出る場合の数です。

5. **確率の計算:** 求める確率は、$\frac{6!S(6,6)}{6^6}$ = $\frac{6! * 1}{6^6} = \frac{720}{46656}= \frac{5}{324}$

## 最終的な答え（問題1）

$\frac{5}{324}$

## 問題2：くじ引きの問題

10本のくじの中に3本当たりくじが入っています。Aさんが先にくじを引き、Bさんが2番目にくじを引くとき、AさんとBさんのどちらが当たりくじを引く確率が大きいか答える問題です。引いたくじは元に戻しません。

## 解き方の手順（問題2）

* **Aさんが当たる確率:** Aさんが当たる確率は、$\frac{3}{10}$です。

* **Bさんが当たる確率:** Bさんが当たる確率を計算します。Bさんが当たるのは、以下の2つの場合です。

* Aさんが外れ、Bさんが当たる。

* Aさんが当たり、Bさんも当たる。

それぞれの確率を計算します。

* Aさんが外れ、Bさんが当たる確率: $\frac{7}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{21}{90}$

* Aさんが当たり、Bさんも当たる確率: $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90}$

Bさんが当たる確率は、これらの和で計算できます。

$\frac{21}{90} + \frac{6}{90} = \frac{27}{90} = \frac{3}{10}$

* **比較:** Aさんが当たる確率とBさんが当たる確率は、どちらも$\frac{3}{10}$です。

## 最終的な答え（問題2）

AさんとBさんが当たりくじを引く確率は同じ。

## 問題3：確率変数の期待値の問題

確率変数Xとその確率分布P(X)が与えられたとき、Xの期待値E(X)を分数の形で求める問題です。

## 解き方の手順（問題3）

1. **期待値の定義:** 期待値は、各確率変数の値とその確率の積の和で計算されます。

$E(X) = \sum_{i} x_i P(x_i)$

2. **計算:**

$E(X) = 1 \times \frac{1}{8} + 2 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{1}{32} + 4 \times \frac{1}{32} + 5 \times \frac{1}{2} + 6 \times \frac{1}{16}$

$= \frac{1}{8} + \frac{2}{4} + \frac{3}{32} + \frac{4}{32} + \frac{5}{2} + \frac{6}{16}$

$= \frac{4}{32} + \frac{16}{32} + \frac{3}{32} + \frac{4}{32} + \frac{80}{32} + \frac{12}{32}$

$= \frac{4 + 16 + 3 + 4 + 80 + 12}{32} = \frac{119}{32}$

## 最終的な答え（問題3）

$\frac{119}{32}$