(1) 40人のクラスで数学と英語のテストを実施したところ、数学のテストが70点以上の人は13人、英語のテストが70点以上の人は12人、ともに70点以上の人は7人であった。ともに70点未満の生徒は何人か。 (2) 40人のクラスで、兄がいて姉がいない生徒は18人、姉がいて兄がいない生徒は14人、姉がいない生徒は21人だった。兄がいる生徒は何人か。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) 40人のクラスで数学と英語のテストを実施したところ、数学のテストが70点以上の人は13人、英語のテストが70点以上の人は12人、ともに70点以上の人は7人であった。ともに70点未満の生徒は何人か。

(2) 40人のクラスで、兄がいて姉がいない生徒は18人、姉がいて兄がいない生徒は14人、姉がいない生徒は21人だった。兄がいる生徒は何人か。

2. 解き方の手順

(1)

* 数学が70点以上の生徒の数を $M$、英語が70点以上の生徒の数を $E$、両方とも70点以上の生徒の数を $M \cap E$ とします。

* 数学または英語が70点以上の生徒の数を求めるには、包含と排除の原理を使用します。

$M \cup E = M + E - M \cap E$

$M \cup E = 13 + 12 - 7 = 18$

* したがって、数学または英語が70点以上の生徒は18人です。

* クラス全体の生徒数は40人なので、両方とも70点未満の生徒の数は次のようになります。

$40 - (M \cup E) = 40 - 18 = 22$

(2)

* 兄がいる生徒の集合を $B$、姉がいる生徒の集合を $S$ とします。

* 兄がいて姉がいない生徒の数は18人なので、$B \cap S^c = 18$。

* 姉がいて兄がいない生徒の数は14人なので、$S \cap B^c = 14$。

* 姉がいない生徒の数は21人なので、$S^c = 21$。

* $S^c$ は、兄がいて姉がいない生徒 ($B \cap S^c$) と、兄も姉もいない生徒 ($B^c \cap S^c$) から構成されます。

* したがって、$S^c = (B \cap S^c) \cup (B^c \cap S^c)$。

$S^c = (B \cap S^c) + (B^c \cap S^c)$

$21 = 18 + (B^c \cap S^c)$

$(B^c \cap S^c) = 21 - 18 = 3$

* クラス全体の生徒数は40人です。

* $B \cup S = 40 - (B^c \cap S^c) = 40 - 3 = 37$

* $B \cup S = (B \cap S^c) + (S \cap B^c) + (B \cap S)$

$37 = 18 + 14 + (B \cap S)$

$37 = 32 + (B \cap S)$

$B \cap S = 37 - 32 = 5$

* $B = (B \cap S^c) + (B \cap S)$

$B = 18 + 5 = 23$

3. 最終的な答え

(1) 22人

(2) 23人