1から4の番号が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、合計4枚ある。この中から無作為に3枚のカードを選び、1列に並べる。 (1) 左端のカードが1でないという条件の下で、中央のカードが1である条件付き確率$p$を求める。 (2) 左端のカードが1でなく、右端のカードが4でないという条件の下で、中央のカードが1である条件付き確率$q$を求める。

1. 問題の内容

1から4の番号が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ、合計4枚ある。この中から無作為に3枚のカードを選び、1列に並べる。

(1) 左端のカードが1でないという条件の下で、中央のカードが1である条件付き確率$p$を求める。

(2) 左端のカードが1でなく、右端のカードが4でないという条件の下で、中央のカードが1である条件付き確率$q$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 条件付き確率$p$を求める。

- 全ての並べ方の総数は$4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

- 左端が1でないという条件を満たす並べ方の総数を求める。

- 左端が2のとき：中央は1, 3, 4のいずれか。右端は残り2枚。よって$1 \times 1 \times 2=2$通り

- 左端が3のとき：中央は1, 2, 4のいずれか。右端は残り2枚。よって$1 \times 1 \times 2=2$通り

- 左端が4のとき：中央は1, 2, 3のいずれか。右端は残り2枚。よって$1 \times 1 \times 2=2$通り

よって、左端が1でないという条件を満たす並べ方の総数は $3 \times 6 = 18$通り。

- 左端が1でなく、かつ中央が1である並べ方の総数を求める。

- 左端が2のとき、中央が1のとき：右端は3, 4のいずれか。よって2通り。

- 左端が3のとき、中央が1のとき：右端は2, 4のいずれか。よって2通り。

- 左端が4のとき、中央が1のとき：右端は2, 3のいずれか。よって2通り。

よって、左端が1でなく、中央が1である並べ方の総数は$2 + 2 + 2 = 6$通り。

- 求める条件付き確率$p$は、

$p = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

(2) 条件付き確率$q$を求める。

- 全ての並べ方の総数は$4 \times 3 \times 2 = 24$通り。

- 左端が1でなく、右端が4でないという条件を満たす並べ方の総数を求める。

- 左端が2のとき：右端が1, 3。中央は残り2枚。$1 \times 2 \times 2 = 4$通り

- 左端が3のとき：右端が1, 2。中央は残り2枚。$1 \times 2 \times 2 = 4$通り

- 左端が4のとき：右端が1, 2, 3。中央は残り2枚。$1 \times 3 \times 2 = 6$通りではない。これは右端が4でないことに反する。左端が４であることはありえない。

よって、左端が1でなく、右端が4でないという条件を満たす並べ方の総数は $4 + 4= 8$通り。

- 左端が1でなく、右端が4でなく、かつ中央が1である並べ方の総数を求める。

- 左端が2のとき、中央が1：右端は3。1通り

- 左端が3のとき、中央が1：右端は2。1通り

よって、左端が1でなく、右端が4でなく、中央が1である並べ方の総数は$1+1=2$通り。

- 求める条件付き確率$q$は、

$q = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $p = \frac{1}{3}$

(2) $q = \frac{1}{4}$