サイコロを1回振るゲームがあり、1か6の目が出たら20点、それ以外の目が出たら5点がもらえる。このゲームで1回サイコロを振ったときに得られる得点の期待値と分散を求める。

1. 問題の内容

サイコロを1回振るゲームがあり、1か6の目が出たら20点、それ以外の目が出たら5点がもらえる。このゲームで1回サイコロを振ったときに得られる得点の期待値と分散を求める。

2. 解き方の手順

(1) 期待値の計算

期待値 $E(X)$ は、各得点にその得点が得られる確率を掛けたものの総和で計算されます。

* 20点が得られる確率は、1か6の目が出る確率なので、$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

* 5点が得られる確率は、2,3,4,5の目が出る確率なので、$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

したがって、期待値は以下の式で計算できます。

$E(X) = 20 \times \frac{1}{3} + 5 \times \frac{2}{3}$

$E(X) = \frac{20}{3} + \frac{10}{3} = \frac{30}{3} = 10$

(2) 分散の計算

分散 $V(X)$ は、$E[(X-E(X))^2]$で計算されます。これは、$各得点と期待値の差の2乗に、その得点が得られる確率を掛けたものの総和$ を意味します。

* 20点の場合: $(20 - 10)^2 \times \frac{1}{3} = 100 \times \frac{1}{3} = \frac{100}{3}$

* 5点の場合: $(5 - 10)^2 \times \frac{2}{3} = 25 \times \frac{2}{3} = \frac{50}{3}$

したがって、分散は以下の式で計算できます。

$V(X) = \frac{100}{3} + \frac{50}{3} = \frac{150}{3} = 50$

3. 最終的な答え

期待値: 10

分散: 50