袋の中に、1から5までの数字が書かれた赤球が5個と、1から7までの数字が書かれた白球が7個入っています。この袋から1球ずつ2回取り出すとき、次の確率を求めます。ただし、取り出した球は袋に戻しません。 (1) 1回目に白球が取り出されたとき、その白球に書かれている数字が奇数である確率。 (2) 1回目に偶数が書かれている球を取り出したとき、2回目に赤球を取り出す確率。 (3) 1回目に白球が出たとき、2回目も白球が出る確率。

1. 問題の内容

袋の中に、1から5までの数字が書かれた赤球が5個と、1から7までの数字が書かれた白球が7個入っています。この袋から1球ずつ2回取り出すとき、次の確率を求めます。ただし、取り出した球は袋に戻しません。

(1) 1回目に白球が取り出されたとき、その白球に書かれている数字が奇数である確率。

(2) 1回目に偶数が書かれている球を取り出したとき、2回目に赤球を取り出す確率。

(3) 1回目に白球が出たとき、2回目も白球が出る確率。

2. 解き方の手順

(1)

* 事象A: 1回目に白球を取り出す。

* 事象B: 1回目に取り出した白球に書かれている数字が奇数である。

求める確率は$P(B|A)$、つまり、1回目に白球を取り出したという条件の下で、その白球が奇数である確率です。

まず、$P(A)$を計算します。

袋の中には合計12個の球があり、そのうち7個が白球なので、$P(A) = \frac{7}{12}$です。

次に、$P(A \cap B)$を計算します。

これは、1回目に奇数が書かれた白球を取り出す確率です。1から7までの奇数は1, 3, 5, 7の4つなので、奇数が書かれた白球は4個あります。

したがって、$P(A \cap B) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$です。

条件付き確率の公式$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$を用いると、

$P(B|A) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{12}} = \frac{1}{3} \times \frac{12}{7} = \frac{4}{7}$

(2)

* 事象C: 1回目に偶数が書かれた球を取り出す。

* 事象D: 2回目に赤球を取り出す。

求める確率は$P(D|C)$、つまり、1回目に偶数が書かれた球を取り出したという条件の下で、2回目に赤球を取り出す確率です。

まず、袋の中にある偶数の球の数を考えます。

赤球には2, 4の2個、白球には2, 4, 6の3個の偶数があるので、偶数の球は合計5個です。

$P(C) = \frac{5}{12}$

次に、$P(C \cap D)$を考えます。これは、1回目に偶数の球を取り出し、2回目に赤球を取り出す確率です。

この事象は、1回目に偶数の赤球を取り出し、2回目に赤球を取り出す場合と、1回目に偶数の白球を取り出し、2回目に赤球を取り出す場合に分けられます。

1. 1回目に偶数の赤球（2個）を取り出す場合: $\frac{2}{12} \times \frac{4}{11} = \frac{8}{132}$

2. 1回目に偶数の白球（3個）を取り出す場合: $\frac{3}{12} \times \frac{5}{11} = \frac{15}{132}$

したがって、$P(C \cap D) = \frac{8}{132} + \frac{15}{132} = \frac{23}{132}$

条件付き確率の公式$P(D|C) = \frac{P(C \cap D)}{P(C)}$を用いると、

$P(D|C) = \frac{\frac{23}{132}}{\frac{5}{12}} = \frac{23}{132} \times \frac{12}{5} = \frac{23}{11 \times 5} = \frac{23}{55}$

(3)

* 事象E: 1回目に白球を取り出す。

* 事象F: 2回目に白球を取り出す。

求める確率は$P(F|E)$、つまり、1回目に白球を取り出したという条件の下で、2回目に白球を取り出す確率です。

まず、$P(E) = \frac{7}{12}$ (既に計算済み)

次に、$P(E \cap F)$を計算します。

これは、1回目に白球を取り出し、2回目も白球を取り出す確率です。

1回目に白球を取り出す確率は$\frac{7}{12}$です。

1回目に白球を取り出した後、残りの球は11個で、そのうち白球は6個です。

したがって、2回目に白球を取り出す確率は$\frac{6}{11}$です。

$P(E \cap F) = \frac{7}{12} \times \frac{6}{11} = \frac{42}{132} = \frac{7}{22}$

条件付き確率の公式$P(F|E) = \frac{P(E \cap F)}{P(E)}$を用いると、

$P(F|E) = \frac{\frac{7}{22}}{\frac{7}{12}} = \frac{7}{22} \times \frac{12}{7} = \frac{12}{22} = \frac{6}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{7}$

(2) $\frac{23}{55}$

(3) $\frac{6}{11}$