5本の木の太さ $x$ (cm) と高さ $y$ (m) を測定した結果が表で与えられています。この $x$ と $y$ の相関係数を求めます。

1. 問題の内容

5本の木の太さ $x$ (cm) と高さ $y$ (m) を測定した結果が表で与えられています。この $x$ と $y$ の相関係数を求めます。

2. 解き方の手順

以下の手順で相関係数を計算します。

* $x$ の平均 $\bar{x}$ と $y$ の平均 $\bar{y}$ を計算します。

$\bar{x} = \frac{21+27+29+23+30}{5} = \frac{130}{5} = 26$

$\bar{y} = \frac{15+17+19+17+22}{5} = \frac{90}{5} = 18$

* 各データ点について、$x-\bar{x}$、$y-\bar{y}$、$(x-\bar{x})^2$、$(y-\bar{y})^2$、$(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ を計算し、表にまとめます。

* $(x - \bar{x})(y - \bar{y})$ の合計は $S_{xy}^2 = \frac{36}{5}$

* $(x - \bar{x})^2$ の合計は $60$

* $(y - \bar{y})^2$ の合計は $28$

* $x$ の標準偏差 $S_x$ と $y$ の標準偏差 $S_y$ を計算します。

$S_x = \sqrt{\frac{60}{5}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

$S_y = \sqrt{\frac{28}{5}}$

* 相関係数 $r$ を計算します。

$r = \frac{\frac{36}{5}}{\sqrt{\frac{60}{5}} \sqrt{\frac{28}{5}}} = \frac{36/5}{\sqrt{60/5 \times 28/5}} = \frac{36/5}{\sqrt{1680/25}} = \frac{36/5}{\sqrt{60*28}/5}=\frac{36}{\sqrt{1680}} = \frac{36}{40.98} = \frac{9}{\sqrt{105}}$

テキストの画像計算では$\frac{36}{5}$を$\frac{36}{5}$を使っているので同じように計算します。

$r = \frac{36/5}{\sqrt{60/5 * 28/5}} = \frac{36/5}{\sqrt{12 *28/5}} = \frac{36}{\sqrt{336}} = \frac{36}{\sqrt{12*28}} = \frac{36}{2 \sqrt{3 * 28 * 5}} = \frac{36}{2 \sqrt{84}} = \frac{36}{2*\sqrt{4 * 21}}= \frac{36/5}{\sqrt{12*28/5}} = \frac{36/5}{ \sqrt{336/5}} \approx 0.88$

3. 最終的な答え

相関係数 $r$ は約 $0.88$ です。