与えられた5つの問題について、それぞれの答えを求める。 (1) 男子4人、女子4人の計8人が円形のテーブルの周りに男女交互に座る座り方の場合の数。 (2) 7人が手をつないで輪を作るとき、特定の2人が隣り合う並び方の場合の数。 (3) 5人でじゃんけんをするとき、手の出し方の場合の数。 (4) 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4の数字を使ってできる8桁の整数の個数。 (5) 立方体の6つの面を、赤、青、黄、緑、紫、茶の6つの色で塗り分ける方法の数。

1. 問題の内容

与えられた5つの問題について、それぞれの答えを求める。

(1) 男子4人、女子4人の計8人が円形のテーブルの周りに男女交互に座る座り方の場合の数。

(2) 7人が手をつないで輪を作るとき、特定の2人が隣り合う並び方の場合の数。

(3) 5人でじゃんけんをするとき、手の出し方の場合の数。

(4) 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4の数字を使ってできる8桁の整数の個数。

(5) 立方体の6つの面を、赤、青、黄、緑、紫、茶の6つの色で塗り分ける方法の数。

2. 解き方の手順

(1) 円順列の問題。まず男子4人の並び方を決める。これは円順列なので $(4-1)!=3!=6$通り。次に、男子の間に女子4人を並べる。これは4! = 24通り。よって、6 * 24 = 144通り。

(2) 特定の2人をまとめて1人と考える。すると合計6人の円順列となるので、$(6-1)!=5!=120$通り。さらに、特定の2人の並び順は2通りあるので、120 * 2 = 240通り。

(3) 各人がグー、チョキ、パーの3通りの出し方があるので、5人では $3^5 = 243$通り。

(4) 8桁の整数を作る。まず、0を先頭に置けないことに注意する。

全体の並べ方は $\frac{8!}{2!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 3360$通り。

0を先頭に置いた並べ方は $\frac{7!}{2!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 420$通り。

したがって、求める個数は $3360 - 420 = 2940$個。

(5) まず、1つの面の色を固定する。これは6色から1色選ぶので6通り。

次に、残りの5色のうち、反対側の面の色を選ぶ。これは5通り。

残りの4つの面は円順列となるので、(4-1)! = 3! = 6通り。

よって、6 * 5 * 6 = 30通り

3. 最終的な答え

(1) 144通り

(2) 240通り

(3) 243通り

(4) 2940個

(5) 30通り