箱Aに1, 1, 1, 2, 2, 3の6枚のカードが入っている。数直線上の点Pの初期座標は0である。操作Sは、箱Aからカードを1枚取り出し、カードに書かれた数だけPを正の方向に動かし、カードを箱Aに戻す。操作Sを2回繰り返したとき、 (i) 2回目の操作後にPの座標が6となる確率を求めよ。 (ii) 2回目の操作後にPの座標が4となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

箱Aに1, 1, 1, 2, 2, 3の6枚のカードが入っている。数直線上の点Pの初期座標は0である。操作Sは、箱Aからカードを1枚取り出し、カードに書かれた数だけPを正の方向に動かし、カードを箱Aに戻す。操作Sを2回繰り返したとき、

(i) 2回目の操作後にPの座標が6となる確率を求めよ。

(ii) 2回目の操作後にPの座標が4となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) 2回の操作でPの座標が6になるのは、2回の操作で引いたカードの数字の合計が6になる場合である。考えられる組み合わせは (3, 3) のみである。

1回目に3を引く確率は $1/6$ であり、2回目に3を引く確率も $1/6$ である。したがって、確率は

$$\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$$

(ii) 2回の操作でPの座標が4になるのは、2回の操作で引いたカードの数字の合計が4になる場合である。考えられる組み合わせは (1, 3), (3, 1), (2, 2) である。

(1, 3) の場合：1回目に1を引く確率は $3/6 = 1/2$ 、2回目に3を引く確率は $1/6$ 。確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$

(3, 1) の場合：1回目に3を引く確率は $1/6$ 、2回目に1を引く確率は $3/6 = 1/2$ 。確率は $\frac{1}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{12}$

(2, 2) の場合：1回目に2を引く確率は $2/6 = 1/3$ 、2回目に2を引く確率は $2/6 = 1/3$ 。確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$

したがって、合計の確率は

$$\frac{1}{12} + \frac{1}{12} + \frac{1}{9} = \frac{3}{36} + \frac{3}{36} + \frac{4}{36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$$

3. 最終的な答え

(i) 2回目の操作後に、Pの座標が6となる確率は $\frac{1}{36}$

(ii) 2回目の操作後に、Pの座標が4となる確率は $\frac{5}{18}$