与えられた標本平均、母標準偏差、標本サイズから、母平均の95%信頼区間と99%信頼区間を求める。 標本平均は88点、母標準偏差は4.0点、標本サイズは16である。

1. 問題の内容

与えられた標本平均、母標準偏差、標本サイズから、母平均の95%信頼区間と99%信頼区間を求める。

標本平均は88点、母標準偏差は4.0点、標本サイズは16である。

2. 解き方の手順

母平均の信頼区間は以下の式で求められる。

$標本平均 - z \times \frac{母標準偏差}{\sqrt{標本サイズ}} \leq 母平均 \leq 標本平均 + z \times \frac{母標準偏差}{\sqrt{標本サイズ}}$

ここで、$z$ は信頼水準に対応する標準正規分布の$z$値である。

95%信頼区間の場合、$z = 1.96$

99%信頼区間の場合、$z = 2.58$

したがって、それぞれの信頼区間は次のようになる。

95%信頼区間：

$88.0 - 1.96 \times \frac{4.0}{\sqrt{16}} \leq 母平均 \leq 88.0 + 1.96 \times \frac{4.0}{\sqrt{16}}$

$88.0 - 1.96 \times \frac{4.0}{4} \leq 母平均 \leq 88.0 + 1.96 \times \frac{4.0}{4}$

$88.0 - 1.96 \leq 母平均 \leq 88.0 + 1.96$

$86.04 \leq 母平均 \leq 89.96$

99%信頼区間：

$88.0 - 2.58 \times \frac{4.0}{\sqrt{16}} \leq 母平均 \leq 88.0 + 2.58 \times \frac{4.0}{\sqrt{16}}$

$88.0 - 2.58 \times \frac{4.0}{4} \leq 母平均 \leq 88.0 + 2.58 \times \frac{4.0}{4}$

$88.0 - 2.58 \leq 母平均 \leq 88.0 + 2.58$

$85.42 \leq 母平均 \leq 90.58$

3. 最終的な答え

母平均の95%信頼区間は $86.04 \leq 母平均 \leq 89.96$。

母平均の99%信頼区間は $85.42 \leq 母平均 \leq 90.58$。