1枚のコインを繰り返し投げ、表が3回出るか、裏が3回出たところで終了する。コインの表と裏の出方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1枚のコインを繰り返し投げ、表が3回出るか、裏が3回出たところで終了する。コインの表と裏の出方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

この問題は、表が3回出る場合と裏が3回出る場合に分けて考えます。

* **表が3回で終わる場合**

* 2回目までに表が2回出て、3回目に表が出る場合：

$\binom{2}{2} = 1$ 通り。この場合、表表表なので1通り。

* 3回目までに表が2回出て、4回目に表が出る場合：

$\binom{3}{2} = 3$ 通り。この場合、表表裏表、表裏表表、裏表表表の3通り。

* 4回目までに表が2回出て、5回目に表が出る場合：

$\binom{4}{2} = 6$ 通り。ただし、5回目に表が出るので、4回目までに裏が2回出てはいけません。つまり4回目までに表が2回、裏が2回という組み合わせは除外する必要があります。

具体的には、表表裏裏、表裏表裏、表裏裏表、裏表表裏、裏表裏表、裏裏表表の6通りです。しかし、このうち、4回目で終わってしまう表裏裏表、表裏表裏のようなパターンは除外する必要があります。

$\binom{4}{2}$ の6通りから、4回目までに裏が2回出ているパターンを考えます。

4回目までに裏が2回出ているということは、4回目に終わる可能性があるので、4回目までに表が2回、裏が1回という状況と、4回目に裏が出るという状況を考えます。

4回のうち表が2回出る組み合わせは $\binom{4}{2} = 6$。しかし、最終回は必ず表なので、3回のうち表が2回出る組み合わせを考え、$\binom{3}{2} = 3$ 通り。つまり、表表裏表、表裏表表、裏表表表の3通り。

* **裏が3回で終わる場合**

表が3回で終わる場合と同様に考えます。結局、組み合わせは同じなので、3+3 = 6通り。

したがって、表が3回で終わる場合と裏が3回で終わる場合を合わせると、

3 + 3 = 6

3. 最終的な答え

10通り