大中小3つのサイコロを同時に投げたとき、目の和が12になる場合は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

大中小3つのサイコロを同時に投げたとき、目の和が12になる場合は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

大中小のサイコロの目をそれぞれ$x$, $y$, $z$とします。

このとき、$x + y + z = 12$ となる整数の組 $(x, y, z)$ を求めます。ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$ である必要があります。

まず、$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$0 \le x' \le 5$, $0 \le y' \le 5$, $0 \le z' \le 5$ となり、

$x' + y' + z' = 12 - 3 = 9$ となります。

$x' + y' + z' = 9$ の非負整数の解の個数を求め、そこから $x' > 5$, $y' > 5$, $z' > 5$ となる場合を引きます。

$x' + y' + z' = 9$ の非負整数解の個数は、

$_{9+3-1}C_{3-1} = _{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55$ 通りです。

次に、$x' > 5$, $y' > 5$, $z' > 5$ の場合を考えます。

(i) $x' \ge 6$ のとき、$x'' = x' - 6$ とおくと、$x'' + y' + z' = 9 - 6 = 3$ となり、この非負整数解の個数は、$_{3+3-1}C_{3-1} = _5C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通りです。

$y' \ge 6$ の場合も、$z' \ge 6$ の場合も同様に10通りずつです。

(ii) $x' \ge 6$ かつ $y' \ge 6$ のとき、$x'' = x' - 6$, $y'' = y' - 6$ とおくと、$x'' + y'' + z' = 9 - 12 = -3$ となり、解は存在しません。

同様に、$x' \ge 6$ かつ $z' \ge 6$、$y' \ge 6$ かつ $z' \ge 6$ の場合も解は存在しません。

したがって、目の和が12になる場合は、$55 - 3 \times 10 = 55 - 30 = 25$ 通りです。

3. 最終的な答え

25