箱 A, B にはそれぞれ 1, 1, 1, 2, 2, 3 のカードが 6 枚入っている。数直線上に点 P, Q があり、初期座標はそれぞれ 0, 6 である。操作 S は箱 A からカードを一枚引き、P をカードの数だけ正の方向に動かす。操作 T は箱 B からカードを一枚引き、Q をカードの数だけ負の方向に動かす。 (1) 操作 S を 2 回繰り返す。 (i) 2 回目の操作後に P の座標が 6 となる確率を求める。 (ii) 2 回目の操作後に P の座標が 4 となる確率を求める。 (2) 操作 S, T を同時に行う操作を U とする。操作 U を 3 回繰り返す。 (i) 1 回目、2 回目、3 回目の操作のいずれかで P, Q の座標がともに 3 となる確率を求める。 (ii) 1 回目、2 回目、3 回目の操作のいずれかで P, Q の座標が一致したとき、一致した座標が 3 である条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

箱 A, B にはそれぞれ 1, 1, 1, 2, 2, 3 のカードが 6 枚入っている。数直線上に点 P, Q があり、初期座標はそれぞれ 0, 6 である。操作 S は箱 A からカードを一枚引き、P をカードの数だけ正の方向に動かす。操作 T は箱 B からカードを一枚引き、Q をカードの数だけ負の方向に動かす。

(1) 操作 S を 2 回繰り返す。

(i) 2 回目の操作後に P の座標が 6 となる確率を求める。

(ii) 2 回目の操作後に P の座標が 4 となる確率を求める。

(2) 操作 S, T を同時に行う操作を U とする。操作 U を 3 回繰り返す。

(i) 1 回目、2 回目、3 回目の操作のいずれかで P, Q の座標がともに 3 となる確率を求める。

(ii) 1 回目、2 回目、3 回目の操作のいずれかで P, Q の座標が一致したとき、一致した座標が 3 である条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(i) 2 回の操作で P の座標が 6 になるのは、1 回目と 2 回目に引いたカードの数の合計が 6 になるときである。カードの組み合わせは (3, 3), (2, 4), (4, 2), (1, 5), (5, 1) の可能性があるが、箱に入っているカードは 1, 1, 1, 2, 2, 3 なので、(3, 3), (2, 4), (4, 2), (1, 5), (5, 1) のうち、(3, 3), (2, 4), (4, 2)はありえない。

1回目、2回目の数字の組み合わせが(3,3)の場合、確率は $1/6 * 1/6 = 1/36$。

1回目、2回目の数字の組み合わせが(2,4)または(4,2)の場合、確率は0。

1回目、2回目の数字の組み合わせが(1,5)または(5,1)の場合、確率は0。

したがって、確率は $1/36$。

(ii) 2 回の操作で P の座標が 4 になるのは、1 回目と 2 回目に引いたカードの数の合計が 4 になるときである。カードの組み合わせは (1, 3), (3, 1), (2, 2) である。

(1, 3) の確率は $(3/6) * (1/6) = 3/36$。

(3, 1) の確率は $(1/6) * (3/6) = 3/36$。

(2, 2) の確率は $(2/6) * (2/6) = 4/36$。

したがって、確率は $(3/36) + (3/36) + (4/36) = 10/36 = 5/18$。

(2)

(i) P, Q の座標がともに 3 となるのは、P が 3, Q が 3 となるとき。P が 3 となるのはカード 3 を引く確率 $1/6$ 。Q が 3 となるのは、6 - カード = 3, つまりカード 3 を引く確率 $1/6$。したがって、1 回の操作で P, Q がともに 3 となる確率は $(1/6)*(1/6)=1/36$。

1 回目、2 回目、3 回目のいずれかで P, Q の座標がともに 3 となる確率は、

$1 - (1 - 1/36)^3 = 1 - (35/36)^3 = 1 - 42875/46656 = 3781/46656$。

(ii) P, Q の座標が一致する確率は、P=Qとなる場合を考える。

P=0, Q=6 (最初)

P=1, Q=5, P=2, Q=4, P=3, Q=3, P=4, Q=2, P=5, Q=1, P=6, Q=0

1回の操作でPの座標がx、Qの座標が6-xとなる確率を$p_x$とする。

$p_0 = 0, p_1 = 3/6 * 0/6 = 0, p_2 = 2/6 * 0/6 = 0, p_3 = 1/6 * 1/6 = 1/36, p_4 = 0, p_5 = 0, p_6 = 0$

P, Q が一致したときに座標が 3 である条件付き確率は、

(P=3, Q=3)となる確率 / (P=Qとなる確率)。

1回目：(1/6)(1/6)=1/36。

2回目：P, Q が一致しない確率 $(1-1/36)=35/36$なので、

3回目：P, Q が一致しない確率 $(35/36)^2$なので、

分母は$1/36 + (35/36)(1/36) + (35/36)^2(1/36)$

分子は、1回目の操作で一致し、その座標が3である確率。

求める条件付き確率は、$\frac{1/36}{1/36 + (35/36)(1/36) + (35/36)^2(1/36)} = \frac{1}{1 + 35/36 + (35/36)^2} = \frac{36^2}{36^2 + 36*35 + 35^2} = \frac{1296}{1296 + 1260 + 1225} = \frac{1296}{3781}$。

3. 最終的な答え

(1)

(i) $1/36$

(ii) $5/18$

(2)

(i) $3781/46656$

(ii) $1296/3781$