n個のデータ$(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$があり、$x$と$y$の間には$y = 7x + 8$という関係がある。 (1) $x$と$y$の標準偏差をそれぞれ$s_x$, $s_y$とするとき、$s_y$を$s_x$を用いて表す。 (2) $x$と$y$の相関係数$r$を求める。

1. 問題の内容

n個のデータ$(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$があり、$x$と$y$の間には$y = 7x + 8$という関係がある。

(1) $x$と$y$の標準偏差をそれぞれ$s_x$, $s_y$とするとき、$s_y$を$s_x$を用いて表す。

(2) $x$と$y$の相関係数$r$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 標準偏差の関係を求める。

$y = 7x + 8$より、

$y_i = 7x_i + 8$が成り立つ。

$y$の分散$s_y^2$は、

$s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$

ここで、$\bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (7x_i + 8) = 7\bar{x} + 8$

したがって、

$s_y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (7x_i + 8 - (7\bar{x} + 8))^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (7x_i - 7\bar{x})^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} 49(x_i - \bar{x})^2 = 49 \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = 49 s_x^2$

$s_y = \sqrt{s_y^2} = \sqrt{49s_x^2} = 7s_x$

(2) 相関係数を求める。

$x$と$y$の共分散$s_{xy}$は、

$s_{xy} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(7x_i + 8 - (7\bar{x} + 8)) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(7x_i - 7\bar{x}) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} 7(x_i - \bar{x})^2 = 7s_x^2$

相関係数$r$は、

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{7s_x^2}{s_x \cdot 7s_x} = \frac{7s_x^2}{7s_x^2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $s_y = 7s_x$

(2) $r = 1$