5人の生徒の小テストAとBの得点が与えられています。AとBの得点の間には正の相関があるか、負の相関があるか、相関係数$r$を計算して調べてください。

1. 問題の内容

5人の生徒の小テストAとBの得点が与えられています。AとBの得点の間には正の相関があるか、負の相関があるか、相関係数$r$を計算して調べてください。

2. 解き方の手順

相関係数$r$は、次の式で計算されます。

$r = \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$

ここで、

$S_{xy} = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \sum_{i=1}^{n}x_iy_i - n\bar{x}\bar{y}$

$S_{xx} = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n}x_i^2 - n\bar{x}^2$

$S_{yy} = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2 = \sum_{i=1}^{n}y_i^2 - n\bar{y}^2$

です。$x_i$はAの得点、$y_i$はBの得点、$\bar{x}$と$\bar{y}$はそれぞれAとBの得点の平均値、そして$n$は生徒の人数（ここでは5）です。

まず、AとBの得点の平均値を計算します。

$\bar{x} = \frac{7+5+9+6+3}{5} = \frac{30}{5} = 6$

$\bar{y} = \frac{6+7+8+10+4}{5} = \frac{35}{5} = 7$

次に、$S_{xy}$, $S_{xx}$, $S_{yy}$ を計算します。

$\sum_{i=1}^{5}x_iy_i = (7\times6) + (5\times7) + (9\times8) + (6\times10) + (3\times4) = 42+35+72+60+12 = 221$

$\sum_{i=1}^{5}x_i^2 = 7^2 + 5^2 + 9^2 + 6^2 + 3^2 = 49+25+81+36+9 = 200$

$\sum_{i=1}^{5}y_i^2 = 6^2 + 7^2 + 8^2 + 10^2 + 4^2 = 36+49+64+100+16 = 265$

$S_{xy} = 221 - 5 \times 6 \times 7 = 221 - 210 = 11$

$S_{xx} = 200 - 5 \times 6^2 = 200 - 180 = 20$

$S_{yy} = 265 - 5 \times 7^2 = 265 - 245 = 20$

相関係数 $r$ は、

$r = \frac{11}{\sqrt{20 \times 20}} = \frac{11}{20} = 0.55$

3. 最終的な答え

相関係数 $r$ は0.55であり、正の相関がある。