2つの変量 $x, y$ をもつデータがあり、それぞれの平均値は $\bar{x}, \bar{y}$ である。 $(x-\bar{x})^2$ の総和は10, $(y-\bar{y})^2$ の総和は40, $(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ の総和は14である。このとき、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求める。

## 問題68

1. 問題の内容

2つの変量 $x, y$ をもつデータがあり、それぞれの平均値は $\bar{x}, \bar{y}$ である。

$(x-\bar{x})^2$ の総和は10, $(y-\bar{y})^2$ の総和は40, $(x-\bar{x})(y-\bar{y})$ の総和は14である。このとき、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求める。

2. 解き方の手順

相関係数 $r$ は、次のように定義されます。

$r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$

問題文より、分子と分母の各項の値が与えられているので、代入して計算します。

$r = \frac{14}{\sqrt{10} \sqrt{40}} = \frac{14}{\sqrt{400}} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10} = 0.7$

3. 最終的な答え

$r = 0.7$

## 問題9

1. 問題の内容

2つの変量 $x, y$ をもつ $n$ 個のデータ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)$ がある。$x$ と $y$ の間に $y = 7x + 8$ の関係があるとき、$x$ と $y$ の相関係数 $r$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$y$ が $x$ の一次関数で表される場合、相関係数の絶対値は1となる。

$y=ax+b$ (a ≠ 0)のとき、相関係数は以下のようになる。

- a > 0 のとき r = 1

- a < 0 のとき r = -1

今回の問題では、$y = 7x + 8$ であり、$x$ の係数 $7$ が正なので、$x$ と $y$ の相関係数は $1$ となる。

3. 最終的な答え

$r = 1$