2つのサイコロを投げて、出た目の数のうち小さくない方をXとするとき、Xの確率分布を求め、Xの平均と分散を計算する問題です。

1. 問題の内容

2つのサイコロを投げて、出た目の数のうち小さくない方をXとするとき、Xの確率分布を求め、Xの平均と分散を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、Xがとりうる値を考えます。Xは2つのサイコロの出た目のうち大きい方なので、1から6までの値をとります。

次に、Xがそれぞれの値をとる確率を計算します。

- P(X=1): 2つのサイコロがともに1のときのみなので、1/36

- P(X=2): (1,2), (2,1), (2,2)の3通りなので、3/36

- P(X=3): (1,3), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)の5通りなので、5/36

- P(X=4): (1,4), (2,4), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)の7通りなので、7/36

- P(X=5): (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)の9通りなので、9/36

- P(X=6): (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)の11通りなので、11/36

次に、確率変数の平均を計算します。

$E(X) = \sum_{i=1}^{6} x_i P(X=x_i)$

$E(X) = 1 * \frac{1}{36} + 2 * \frac{3}{36} + 3 * \frac{5}{36} + 4 * \frac{7}{36} + 5 * \frac{9}{36} + 6 * \frac{11}{36}$

$E(X) = \frac{1+6+15+28+45+66}{36} = \frac{161}{36}$

次に、確率変数の分散を計算します。

$V(X) = E(X^2) - E(X)^2$

$E(X^2) = \sum_{i=1}^{6} x_i^2 P(X=x_i)$

$E(X^2) = 1^2 * \frac{1}{36} + 2^2 * \frac{3}{36} + 3^2 * \frac{5}{36} + 4^2 * \frac{7}{36} + 5^2 * \frac{9}{36} + 6^2 * \frac{11}{36}$

$E(X^2) = \frac{1+12+45+112+225+396}{36} = \frac{791}{36}$

$V(X) = \frac{791}{36} - (\frac{161}{36})^2 = \frac{791*36 - 161*161}{36^2} = \frac{28476 - 25921}{1296} = \frac{2555}{1296}$

3. 最終的な答え

確率分布は

P(X=1) = 1/36

P(X=2) = 3/36 = 1/12

P(X=3) = 5/36

P(X=4) = 7/36

P(X=5) = 9/36 = 1/4

P(X=6) = 11/36

平均は161/36

分散は2555/1296