(1) 男子4人、女子4人の計8人が円形のテーブルの周りに男女が交互になるように着席する場合の数を求めよ。 (2) 7人が手をつないで輪を作るとき、特定の2人が隣り合う場合の数を求めよ。 (3) 5人でじゃんけんをするとき、手の出し方の総数を求めよ。 (4) 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4 のすべての数字を用いてできる8桁の整数の個数を求めよ。 (5) 立方体の6つの面を、赤、青、黄、緑、紫、茶の6つの色を1色ずつ用いて塗り分ける方法の数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 男子4人、女子4人の計8人が円形のテーブルの周りに男女が交互になるように着席する場合の数を求めよ。

(2) 7人が手をつないで輪を作るとき、特定の2人が隣り合う場合の数を求めよ。

(3) 5人でじゃんけんをするとき、手の出し方の総数を求めよ。

(4) 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4 のすべての数字を用いてできる8桁の整数の個数を求めよ。

(5) 立方体の6つの面を、赤、青、黄、緑、紫、茶の6つの色を1色ずつ用いて塗り分ける方法の数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、男子4人を円形に並べる方法を考える。これは $(4-1)! = 3! = 6$ 通り。

次に、男子の間に女子4人を並べる。これは $4! = 24$ 通り。

したがって、男女が交互に並ぶ場合の数は、$6 \times 24 = 144$ 通り。

(2)

特定の2人をひとまとめにして考える。すると、全体で6人になるので、輪の並び方は $(6-1)! = 5! = 120$ 通り。

特定の2人の並び方は2通り。

したがって、特定の2人が隣り合う並び方は、$120 \times 2 = 240$ 通り。

(3)

各人が出せる手の種類はグー、チョキ、パーの3通り。

5人それぞれが3通りの手を出すので、$3^5 = 243$ 通り。

(4)

8桁の整数の総数を求める。

まず、すべての数字を並べる場合の数は、$\frac{8!}{2! \times 3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 3360$ 通り。

ただし、先頭が0になる場合は、8桁の整数にならないので、その場合を除く。

先頭が0の場合、残りの7つの数字を並べる場合の数は $\frac{7!}{2! \times 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 3 \times 2 \times 1} = 420$ 通り。

したがって、8桁の整数の個数は $3360 - 420 = 2940$ 個。

(5)

まず、底面を固定する。底面の色の選び方は6通り。

次に、上面の色の選び方は5通り。

残りの4つの側面を円順列で考えると、$(4-1)! = 3! = 6$ 通り。

したがって、立方体の6つの面を塗り分ける方法は、$6 \times 5 \times 6 = 180$ 通り。

ただし、回転によって同じになるものを除外するため、上面の色を固定して考えると、側面の並べ方は $\frac{4!}{4} = 3!/1 = 6$通り。

よって、 $6 \times 5 \times (4-1)!/1 = 6 \times 5 \times 6 /1= 30$ 通り。

さらに、回転対称性から、$6 \times 5 = 30$となり、残りの4面は円順列になるから、３！＝6通り

30*6 = 180通りを考えると，180/6 = 30通り.

しかしながら, 解答は30通りではない.

まず、ある面の色を固定し、その反対側の面の色を決めると5通り。

残りの4つの側面は円順列で考えるから、$(4-1)!=3!=6$通り。

したがって、$5 \times 6=30$通りとなる。しかし、空間回転があるので、30通りではない。

立方体を机に置いた時，底面は6通りある。上面は残りの5通り。

側面の並び方は、(4-1)!=3!=6

6 x 5 x 6 =180

回転できることを考えると、30通りではない

他の解法

正解は30通り．

6色から1色を選び底面に固定する．上面は残りの5色から1色を選ぶ．残りの4側面は円順列で(4-1)!=6通り．よって5×6=30通り

3. 最終的な答え

(1) 144通り

(2) 240通り

(3) 243通り

(4) 2940個

(5) 30通り