J選手の打率(ヒットを打つ確率)は $\frac{1}{4}$ である。J選手は年間300回打席に立ち、打席の結果はヒットを打つか打たないかの2通りとする。打ったヒットの本数をXとする。 (1) Xが従う確率分布を求める。 (2) Xの確率関数を求める。 (3) J選手が打つ年間のヒット数が80本未満である確率を、正規近似を用いて小数第2位まで求める。

1. 問題の内容

J選手の打率(ヒットを打つ確率)は $\frac{1}{4}$ である。J選手は年間300回打席に立ち、打席の結果はヒットを打つか打たないかの2通りとする。打ったヒットの本数をXとする。

(1) Xが従う確率分布を求める。

(2) Xの確率関数を求める。

(3) J選手が打つ年間のヒット数が80本未満である確率を、正規近似を用いて小数第2位まで求める。

2. 解き方の手順

(1) 確率分布

Xは二項分布に従う。試行回数 $n = 300$ 、成功確率 $p = \frac{1}{4}$ の二項分布である。

$X \sim B(300, \frac{1}{4})$

(2) 確率関数

二項分布の確率関数は以下の通り。

$P(X = k) = {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}$

問題文より、$n=300$, $p=\frac{1}{4}$なので、

$P(X = k) = {}_{300} C_k (\frac{1}{4})^k (\frac{3}{4})^{300-k}$

(3) 正規近似

二項分布$B(n, p)$は、$n$が大きいとき、正規分布$N(np, np(1-p))$で近似できる。

平均$\mu = np = 300 \times \frac{1}{4} = 75$

分散$\sigma^2 = np(1-p) = 300 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{900}{16} = \frac{225}{4}$

標準偏差$\sigma = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2} = 7.5$

Xが80本未満である確率 $P(X < 80)$ を求める。連続修正を行うと $P(X < 79.5)$となる。

Z値に変換すると

$Z = \frac{79.5 - 75}{7.5} = \frac{4.5}{7.5} = \frac{3}{5} = 0.6$

標準正規分布表から $P(Z < 0.6) = 0.7257$

よって、J選手が打つ年間のヒット数が80本未満である確率は約0.73

3. 最終的な答え

(1) $X \sim B(300, \frac{1}{4})$

(2) $P(X = k) = {}_{300} C_k (\frac{1}{4})^k (\frac{3}{4})^{300-k}$

(3) 0.73