## 問題の概要

## 問題の概要

この問題は、2つの独立した問題から構成されています。

1. **並び方とグループ分け**: 8人（大人5人、子供3人）の並び方とグループ分けに関する問題です。具体的には、子供たちが隣り合うような並び方の総数と、8人を2つのグループに分ける方法の総数を求めます。

2. **カードの確率**: 1から5までの数字が書かれた赤いカードと白いカードがそれぞれ5枚ずつあります。この中から2枚のカードを同時に取り出すときの確率に関する問題です。具体的には、取り出し方の総数、2枚とも偶数である確率、2枚が同じ色でかつ偶数である確率、2枚が同じ色であるかまたは偶数である確率を求めます。

## 解き方の手順

### [1] (1) 子供たちが隣り合うような並び方の総数

1. 子供3人をひとまとめにして考えます。この「子供グループ」と大人5人を並べる方法は、$6!$ 通りです。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

2. 子供グループの中での並び方は、$3!$ 通りです。

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

3. したがって、子供たちが隣り合うような並び方の総数は、$6! \times 3!$ 通りです。

$720 \times 6 = 4320$

### [1] (2) 8人を2組に分ける方法の総数

1. 8人を2つのグループに分ける方法は、各グループに最低1人が含まれている必要があるため、グループの人数は (1,7), (2,6), (3,5), (4,4) のいずれかになります。

2. グループ分けの場合の数は、組み合わせの考え方を使います。

* (1,7): $_8C_1$ = 8

* (2,6): $_8C_2$ = 28

* (3,5): $_8C_3$ = 56

* (4,4): $_8C_4$ = 70

3. (4,4) の分け方の場合、同じ人数なので、半分に割る必要があります。よって、70/2 = 35。

4. したがって、2組に分ける総数は $8 + 28 + 56 + 35 = 127$ 通りです。

### [2] (1) 取り出し方の総数

1. 全部で10枚のカードから2枚を選ぶ組み合わせなので、$_{10}C_2$ を計算します。

$_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

### [2] (2) 取り出したカードの数字が2枚とも偶数である確率

1. 偶数のカードは、赤と白それぞれに2枚ずつ（2と4）あるので、合計4枚です。

2. 4枚の偶数カードから2枚を選ぶ組み合わせは、$_4C_2$ 通りです。

$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

3. したがって、2枚とも偶数である確率は、$\frac{_4C_2}{_{10}C_2} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$ です。

### [2] (3) 取り出した2枚のカードが同じ色で、かつ数字が偶数のみである確率

1. 同じ色で偶数であるカードの組み合わせは、赤の(2,4) または 白の(2,4)の組み合わせです。

2. それぞれの色で偶数のカード2枚を選ぶ組み合わせは $_2C_2 = 1$ 通りです。

3. 赤と白があるので、同じ色で偶数の組み合わせは $1+1=2$ 通りです。

4. したがって、確率は $\frac{2}{45}$ です。

### [2] (4) 取り出した2枚のカードが同じ色か、または数字が偶数のみである確率

1. 同じ色のカードを取り出す確率を計算します。同じ色を取り出す組み合わせは、赤の5枚から2枚、または白の5枚から2枚を選ぶ組み合わせです。

* 赤から2枚： $_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

* 白から2枚： $_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

* 合計：$10 + 10 = 20$ 通り

2. 数字が偶数のみの確率（[2](2)より）： $\frac{6}{45}$

3. 「同じ色 *または* 偶数」なので、和集合の考え方を使います。

4. 「同じ色 *かつ* 偶数」の確率は、[2](3)で求めた $\frac{2}{45}$ です。

5. 和集合の確率は、

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

ここで、$A$を「同じ色」、$B$を「偶数のみ」とすると、

$$P(\text{同じ色} \cup \text{偶数}) = P(\text{同じ色}) + P(\text{偶数}) - P(\text{同じ色} \cap \text{偶数})$$

6. したがって、確率は、

$$\frac{20}{45} + \frac{6}{45} - \frac{2}{45} = \frac{20+6-2}{45} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$$

## 最終的な答え

[1]

(1) 4320

(2) 127

[2]

(1) 45

(2) 2/15

(3) 2/45

(4) 8/15