袋の中に赤球4個と白球3個が入っている。この袋から3個の球を取り出すとき、以下の確率を求めよ。 (1) 3個とも同じ色の球が出る確率 (2) 赤球2個と白球1個が出る確率

1. 問題の内容

袋の中に赤球4個と白球3個が入っている。この袋から3個の球を取り出すとき、以下の確率を求めよ。

(1) 3個とも同じ色の球が出る確率

(2) 赤球2個と白球1個が出る確率

2. 解き方の手順

(1) 3個とも同じ色の球が出る確率

まず、3個の球の取り出し方の総数を計算する。これは7個から3個を選ぶ組み合わせなので、

$_{7}C_{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り

次に、3個とも赤球である確率を計算する。これは4個の赤球から3個を選ぶ組み合わせなので、

$_{4}C_{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$通り

次に、3個とも白球である確率を計算する。これは3個の白球から3個を選ぶ組み合わせなので、

$_{3}C_{3} = \frac{3!}{3!(3-3)!} = \frac{3!}{3!0!} = 1$通り

したがって、3個とも同じ色である確率は

$\frac{_{4}C_{3} + _{3}C_{3}}{_{7}C_{3}} = \frac{4 + 1}{35} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$

(2) 赤球2個と白球1個が出る確率

赤球2個を選ぶ組み合わせは、4個の赤球から2個を選ぶので、

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り

白球1個を選ぶ組み合わせは、3個の白球から1個を選ぶので、

$_{3}C_{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3$通り

したがって、赤球2個と白球1個を選ぶ組み合わせは

$_{4}C_{2} \times _{3}C_{1} = 6 \times 3 = 18$通り

したがって、赤球2個と白球1個が出る確率は

$\frac{_{4}C_{2} \times _{3}C_{1}}{_{7}C_{3}} = \frac{18}{35}$

3. 最終的な答え

(1) 3個とも同じ色の球が出る確率: $\frac{1}{7}$

(2) 赤球2個と白球1個が出る確率: $\frac{18}{35}$