(6) 2つの変量 $x, y$ について、次のデータが与えられている。 $x: 4, 1, 2, 2, 6$ $y: 6, 2, 4, 6, 2$ (i) 共分散を求めよ。 (ii) 相関係数を求めよ。 (7) $\triangle ABC$ において、$AC = 3, AB = \sqrt{3}, \angle C = 30^\circ$とする。 (i) $0^\circ < \angle B < 90^\circ$ のとき、$\angle B$、$\angle A$、$BC$を求めよ。 (ii) $90^\circ \le \angle B < 180^\circ$ のとき、$\angle B$、$\angle A$、$BC$を求めよ。 (8) 図において、$AT$ は円の接線、$A$ は接点であり、弧 $AB$ と弧 $BC$ の長さは等しく、$\angle ABC = 40^\circ$ である。このとき、$\angle BAT$を求めよ。

回答します。

1. 問題の内容

(6) 2つの変量 $x, y$ について、次のデータが与えられている。

$x: 4, 1, 2, 2, 6$

$y: 6, 2, 4, 6, 2$

(i) 共分散を求めよ。

(ii) 相関係数を求めよ。

(7) $\triangle ABC$ において、$AC = 3, AB = \sqrt{3}, \angle C = 30^\circ$とする。

(i) $0^\circ < \angle B < 90^\circ$ のとき、$\angle B$、$\angle A$、$BC$を求めよ。

(ii) $90^\circ \le \angle B < 180^\circ$ のとき、$\angle B$、$\angle A$、$BC$を求めよ。

(8) 図において、$AT$ は円の接線、$A$ は接点であり、弧 $AB$ と弧 $BC$ の長さは等しく、$\angle ABC = 40^\circ$ である。このとき、$\angle BAT$を求めよ。

2. 解き方の手順

(6)

(i) 共分散を求める。

まず、$x$ と $y$ の平均を計算する。

$\bar{x} = \frac{4+1+2+2+6}{5} = \frac{15}{5} = 3$

$\bar{y} = \frac{6+2+4+6+2}{5} = \frac{20}{5} = 4$

次に、$x$ と $y$ の偏差を計算する。

$x$ の偏差: $4-3=1, 1-3=-2, 2-3=-1, 2-3=-1, 6-3=3$

$y$ の偏差: $6-4=2, 2-4=-2, 4-4=0, 6-4=2, 2-4=-2$

共分散は、偏差の積の平均で求められる。

共分散 $= \frac{1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-2) + (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 2 + 3 \cdot (-2)}{5} = \frac{2 + 4 + 0 - 2 - 6}{5} = \frac{-2}{5} = -0.4 = -\frac{2}{5}$

(ii) 相関係数を求める。

$x$ の標準偏差: $\sigma_x = \sqrt{\frac{(4-3)^2+(1-3)^2+(2-3)^2+(2-3)^2+(6-3)^2}{5}} = \sqrt{\frac{1+4+1+1+9}{5}} = \sqrt{\frac{16}{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$

$y$ の標準偏差: $\sigma_y = \sqrt{\frac{(6-4)^2+(2-4)^2+(4-4)^2+(6-4)^2+(2-4)^2}{5}} = \sqrt{\frac{4+4+0+4+4}{5}} = \sqrt{\frac{16}{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$

相関係数 $r = \frac{共分散}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{-2/5}{(4/\sqrt{5})(4/\sqrt{5})} = \frac{-2/5}{16/5} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}$

(7)

(i) 余弦定理より、

$(\sqrt{3})^2 = 3^2 + BC^2 - 2 \cdot 3 \cdot BC \cdot \cos 30^\circ$

$3 = 9 + BC^2 - 6 BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$BC^2 - 3\sqrt{3}BC + 6 = 0$

$BC = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 4(6)}}{2} = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{27 - 24}}{2} = \frac{3\sqrt{3} \pm \sqrt{3}}{2}$

$BC = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ or $BC = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

$BC = 2\sqrt{3}$ のとき、正弦定理より、

$\frac{\sqrt{3}}{\sin 30^\circ} = \frac{3}{\sin B}$

$\frac{\sqrt{3}}{1/2} = \frac{3}{\sin B}$

$2\sqrt{3} \sin B = 3$

$\sin B = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$B = 60^\circ$

$A = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ$

$BC = \sqrt{3}$ のとき、これは $AB = BC$ であるため、$\triangle ABC$ は二等辺三角形。$\angle A = \angle C = 30^{\circ}$ となる。

$\angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180 - 30 -30 = 120^{\circ}$

これは、$0 < \angle B < 90$ の場合に反するので不適。よって、$BC = 2\sqrt{3}$で$B=60^\circ, A = 90^\circ$

(ii) $B = 120^\circ$

$A = 180 - 120 - 30 = 30^{\circ}$

余弦定理より、

$(\sqrt{3})^2 = 3^2 + BC^2 - 2 \cdot 3 \cdot BC \cdot \cos 30^\circ$

(8) 弧 $AB$ と弧 $BC$ の長さが等しいので、$\angle BAC = \angle BCA$

$\angle BAC = \angle BCA = x$とする。

$x + x + 40 = 180$

$2x = 140$

$x = 70$

$\angle BAC = 70^\circ$

接弦定理より、$\angle BAT = \angle BCA = 70^\circ$

3. 最終的な答え

(6) (i) 共分散: $-\frac{2}{5}$

(ii) 相関係数: $-\frac{1}{8}$

(7) (i) $\angle B = 60^\circ$、$\angle A = 90^\circ$、$BC = 2\sqrt{3}$

(ii) $\angle B = 150^\circ$、$\angle A = 0^\circ$、$BC=0$.（$\angle B$ が180度未満なので、$90 \le B < 180$を満たさない）

$B=120$のとき、$\angle B = 120^\circ$、$\angle A = 30^\circ$、$BC = \sqrt{3}$

(8) $\angle BAT = 40^\circ$

訂正:

（7）において正弦定理を用いると、

(i) $0^\circ < B < 90^\circ$の時、$\sin B = \frac{3 \sin 30^\circ}{\sqrt{3}} = \frac{3(1/2)}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、$B=60^{\circ}$、よって$A=90^{\circ}$

$BC^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2(\sqrt{3})(3) \cos(90) = 3+9=12$なので$BC=\sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$.

(ii) $90^\circ \le B < 180^\circ$の時, $B = 120^\circ$, $A=30^\circ$

$BC^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2(\sqrt{3})(3) \cos(30) = 3+9 -6(\sqrt{3})(-\sqrt{3/2})$

(8) 弧AB=弧BCなので、円周角より角BAC=角BCA=xとする。

三角形の内角の和より、x+x+40=180, x=70。

接弦定理より、角BAT=角BCAなので、70度

最終的な答え

(6) (i) 共分散: $-\frac{2}{5} = -0.4$

(ii) 相関係数: $-\frac{1}{8} = -0.125$

(7) (i) $\angle B = 60^\circ$、$\angle A = 90^\circ$、$BC = 2\sqrt{3}$

(ii) $\angle B = 120^\circ$、$\angle A = 30^\circ$、$BC = \sqrt{6}$

(8) $\angle BAT = 40^\circ$ではない、$\angle BAT = 70^\circ$