原点にある点Pが、サイコロを投げるたびに以下の規則に従って移動します。 * 1, 2の目が出たら、x軸方向に+1 * 3の目が出たら、x軸方向に+2 * 4, 5, 6の目が出たら、y軸方向に+1 このとき、以下の確率を求めます。 (1) サイコロを3回投げたとき、Pの座標が(3, 0)である確率 (2) サイコロを3回投げたとき、Pのy座標が2である確率 (3) サイコロを6回投げたとき、Pの座標が(5, 2)である確率 (4) サイコロを6回投げたとき、Pのx座標が5であるという条件のもとで、Pのy座標が2である条件付き確率

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

原点にある点Pが、サイコロを投げるたびに以下の規則に従って移動します。

* 1, 2の目が出たら、x軸方向に+1

* 3の目が出たら、x軸方向に+2

* 4, 5, 6の目が出たら、y軸方向に+1

このとき、以下の確率を求めます。

(1) サイコロを3回投げたとき、Pの座標が(3, 0)である確率

(2) サイコロを3回投げたとき、Pのy座標が2である確率

(3) サイコロを6回投げたとき、Pの座標が(5, 2)である確率

(4) サイコロを6回投げたとき、Pのx座標が5であるという条件のもとで、Pのy座標が2である条件付き確率

2. 解き方の手順

(1) サイコロを3回投げたとき、Pの座標が(3, 0)である確率

3回のうち、1, 2の目が3回出るか、3の目が1回出て1,2の目が0回出るか、3の目が0回出て1,2の目が3回出るかのいずれかである必要があります。

* 1, 2の目が3回出る場合：確率は $(\frac{2}{6})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

* 3の目が1回、1, 2の目が0回出る場合：3の目が1回出る場合、確率は $\frac{1}{6}$、そして、4, 5, 6のいずれかの目が2回出る場合、確率は $(\frac{3}{6})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$　よって、3回のうち3の目が1回出る確率は、${}_3 C_1 (\frac{1}{6})^1(\frac{5}{6})^2 = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$。3の目が1回出てx座標が2、残り2回で1,2の目が出ずにy座標が0になるのは、出た目が3, 4, 5, 6となるような確率です。$\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$. 3が1回出てx座標が2になるのは1通りなので、残り2回でx座標が1になることはありえません。

したがって、(3,0)になるのは、1,2が3回出る場合のみです。

(2) サイコロを3回投げたとき、Pのy座標が2である確率

y座標が2となるためには、4, 5, 6のいずれかの目が2回出ればよいです。

* 4, 5, 6の目が2回、その他1回の場合：${}_3 C_2 (\frac{3}{6})^2 (\frac{3}{6})^1 = 3 \times (\frac{1}{2})^2 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$

* 4, 5, 6の目が3回の場合：$(\frac{3}{6})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

よって、確率は $\frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

(3) サイコロを6回投げたとき、Pの座標が(5, 2)である確率

x座標が5、y座標が2となるためには、以下の組み合わせが考えられます。

* 1, 2の目が5回、4, 5, 6の目が2回：この場合は、1,2の目が5回、4,5,6の目が2回、3の目が0回です。${}_6 C_5 (\frac{2}{6})^5 (\frac{3}{6})^2 = 6 \times (\frac{1}{3})^5 \times (\frac{1}{2})^2 = 6 \times \frac{1}{243} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{972} = \frac{1}{162}$

* 1, 2の目が3回、3の目が1回、4, 5, 6の目が2回：この場合は、1, 2の目が3回、3の目が1回、4,5,6の目が2回です。$\frac{6!}{3!1!2!} (\frac{2}{6})^3 (\frac{1}{6})^1 (\frac{3}{6})^2 = \frac{6 \times 5 \times 4}{2} \times (\frac{1}{3})^3 \times \frac{1}{6} \times (\frac{1}{2})^2 = 60 \times \frac{1}{27} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{4} = \frac{60}{648} = \frac{5}{54}$

合計すると、$\frac{1}{162} + \frac{5}{54} = \frac{1}{162} + \frac{15}{162} = \frac{16}{162} = \frac{8}{81}$

(4) サイコロを6回投げたとき、Pのx座標が5であったという条件のもとで、Pのy座標が2である条件付き確率

Pのx座標が5となるのは以下の組み合わせです。

* 1, 2の目が5回、3の目が0回：確率は${}_6 C_5 (\frac{2}{6})^5 (\frac{4}{6})^1 = 6 \times (\frac{1}{3})^5 \times \frac{2}{3} = \frac{12}{729}$。ただし、y座標は0なので、これは条件に当てはまらない。

* 1, 2の目が3回、3の目が1回：確率は${}_6 C_3 {}_3 C_1 (\frac{2}{6})^3 (\frac{1}{6})^1 (\frac{3}{6})^2 = \frac{6!}{3!1!2!} (\frac{1}{3})^3 (\frac{1}{6})^1 (\frac{1}{2})^2 = \frac{6 \times 5 \times 4}{2} \times \frac{1}{27} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{4} = 20 \times \frac{1}{27} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{4} = \frac{20}{648} = \frac{5}{162}$

* 1, 2の目が1回、3の目が2回：確率は${}_6 C_1 {}_5 C_2 (\frac{2}{6})^1 (\frac{1}{6})^2 (\frac{3}{6})^3 = 6 \times 10 (\frac{1}{3})(\frac{1}{36})(\frac{1}{8}) = \frac{60}{864} = \frac{5}{72}$

x座標が5である確率をP(X=5)とすると、P(X=5) = $\frac{5}{162}$.

P(Y=2|X=5) = P(X=5 and Y=2) / P(X=5) = $\frac{8/81}{\frac{5}{162}} = \frac{16}{162} / \frac{162}{162}$

* x=5かつy=2となる場合 1,2が３回、3が1回、4,5,6が2回。これはすでに計算済みで、確率は$\frac{5}{54}$。

よって、P(Y=2|X=5) = $\frac{5/54}{\frac{870}{7776}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{27}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $\frac{8}{81}$

(4) $\frac{15}{53}$