変量 $x$ のデータについて、平均値 $\bar{x} = 21$、分散 $s_x^2 = 12$ である。以下の $y$ の式によって得られる新しい変量 $y$ のデータについて、平均値 $\bar{y}$、分散 $s_y^2$、標準偏差 $s_y$ を求める。ただし、$\sqrt{3} = 1.73$ とし、標準偏差は小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求める。 (1) $y = x - 5$ (2) $y = 3x$ (3) $y = -2x + 3$ (4) $y = \frac{x - 21}{2\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

変量 $x$ のデータについて、平均値 $\bar{x} = 21$、分散 $s_x^2 = 12$ である。以下の $y$ の式によって得られる新しい変量 $y$ のデータについて、平均値 $\bar{y}$、分散 $s_y^2$、標準偏差 $s_y$ を求める。ただし、$\sqrt{3} = 1.73$ とし、標準偏差は小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求める。

(1) $y = x - 5$

(2) $y = 3x$

(3) $y = -2x + 3$

(4) $y = \frac{x - 21}{2\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x - 5$ の場合

- 平均値: $\bar{y} = \bar{x} - 5 = 21 - 5 = 16$

- 分散: $s_y^2 = s_x^2 = 12$

- 標準偏差: $s_y = \sqrt{s_y^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} = 2 \times 1.73 = 3.46 \approx 3.5$

(2) $y = 3x$ の場合

- 平均値: $\bar{y} = 3\bar{x} = 3 \times 21 = 63$

- 分散: $s_y^2 = 3^2 s_x^2 = 9 \times 12 = 108$

- 標準偏差: $s_y = \sqrt{s_y^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} = 6 \times 1.73 = 10.38 \approx 10.4$

(3) $y = -2x + 3$ の場合

- 平均値: $\bar{y} = -2\bar{x} + 3 = -2 \times 21 + 3 = -42 + 3 = -39$

- 分散: $s_y^2 = (-2)^2 s_x^2 = 4 \times 12 = 48$

- 標準偏差: $s_y = \sqrt{s_y^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} = 4 \times 1.73 = 6.92 \approx 6.9$

(4) $y = \frac{x - 21}{2\sqrt{3}}$ の場合

- 平均値: $\bar{y} = \frac{\bar{x} - 21}{2\sqrt{3}} = \frac{21 - 21}{2\sqrt{3}} = \frac{0}{2\sqrt{3}} = 0$

- 分散: $s_y^2 = \left(\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2 s_x^2 = \frac{1}{4 \times 3} \times 12 = \frac{12}{12} = 1$

- 標準偏差: $s_y = \sqrt{s_y^2} = \sqrt{1} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\bar{y} = 16$, $s_y^2 = 12$, $s_y = 3.5$

(2) $\bar{y} = 63$, $s_y^2 = 108$, $s_y = 10.4$

(3) $\bar{y} = -39$, $s_y^2 = 48$, $s_y = 6.9$

(4) $\bar{y} = 0$, $s_y^2 = 1$, $s_y = 1.0$