1個のサイコロを4回投げるとき、次の確率を求めます。 (1) 1の目がちょうど3回出る確率 (2) 5以上の目がちょうど2回出る確率

1. 問題の内容

1個のサイコロを4回投げるとき、次の確率を求めます。

(1) 1の目がちょうど3回出る確率

(2) 5以上の目がちょうど2回出る確率

2. 解き方の手順

(1) 1の目がちょうど3回出る確率

4回のうち3回は1の目が出て、残りの1回は1以外の目が出る場合を考えます。

1の目が出る確率は $\frac{1}{6}$、1以外の目が出る確率は $\frac{5}{6}$ です。

1の目が3回、1以外の目が1回出る順番は ${}_4 \mathrm{C}_3 = 4$ 通りあります。

したがって、求める確率は

$4 \times (\frac{1}{6})^3 \times \frac{5}{6} = 4 \times \frac{1}{216} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$

(2) 5以上の目がちょうど2回出る確率

4回のうち2回は5以上の目が出て、残りの2回は5未満の目が出る場合を考えます。

5以上の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$、5未満の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

5以上の目が2回、5未満の目が2回出る順番は ${}_4 \mathrm{C}_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りあります。

したがって、求める確率は

$6 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^2 = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{324}$

(2) $\frac{8}{27}$