赤玉2個と白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てから元に戻す。この試行を5回行うとき、赤玉が4回以上出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉2個と白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てから元に戻す。この試行を5回行うとき、赤玉が4回以上出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題です。

1回の試行で赤玉が出る確率は、$\frac{2}{2+4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$です。白玉が出る確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$です。

5回の試行で赤玉が4回以上出る確率を求めるので、赤玉が4回出る場合と5回出る場合をそれぞれ計算し、それらを足し合わせます。

(1) 赤玉が4回出る場合

5回の試行のうち4回が赤玉で、残り1回が白玉である確率を求めます。これは二項分布に従い、確率は次のようになります。

$_{5}C_{4} (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$

(2) 赤玉が5回出る場合

5回の試行すべてで赤玉が出る確率を求めます。

$(\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}$

(3) 4回以上出る確率

(1)と(2)の結果を足し合わせます。

$\frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{243}$