確率に関する様々な問題を解く。具体的には、じゃんけんの確率、玉を取り出す確率、反復試行の確率、条件付き確率、確率の乗法定理、期待値を求める。

1. 問題の内容

確率に関する様々な問題を解く。具体的には、じゃんけんの確率、玉を取り出す確率、反復試行の確率、条件付き確率、確率の乗法定理、期待値を求める。

2. 解き方の手順

1. **じゃんけんの確率**

* 3人がじゃんけんを1回するとき、1人だけが勝つ確率

* 1人が勝つ場合、その勝ち方は3通り（A, B, Cの誰か）。勝つ手の出し方は3通り（グー、チョキ、パー）。残りの2人は負ける必要があるため、出す手は1通りに決まる。なので、確率は $3 \times 3 \times 1 / 3^3 = 1/3$

* 4人がじゃんけんを1回するとき、2人だけが勝つ確率

* 4人から2人を選ぶ選び方は $_4C_2 = 6$ 通り。勝つ手の出し方は3通り。負ける2人は勝つ手と違う手を出す必要があるので、その出し方は1通り。したがって、確率は $6 \times 3 \times 1 / 3^4 = 2/9$

2. **玉を取り出す確率**

* 3個とも赤玉である確率

* 8個から3個を取り出す組み合わせは $_8C_3 = 56$ 通り。赤玉4個から3個を取り出す組み合わせは $_4C_3 = 4$ 通り。よって確率は $4/56 = 1/14$

* 1個だけが赤玉である確率

* 赤玉1個と白玉2個を取り出す組み合わせは $_4C_1 \times _4C_2 = 4 \times 6 = 24$ 通り。よって確率は $24/56 = 3/7$

3. **反復試行の確率、余事象の確率**

* 1の目がちょうど3回出る確率

* 4回のうち3回1の目が出て、残りの1回は1以外の目が出る確率を求める。

* 1の目が3回出る組み合わせは $_4C_3 = 4$ 通り。1の目が出る確率は $1/6$、1以外の目が出る確率は $5/6$。したがって確率は $4 \times (1/6)^3 \times (5/6) = 20/1296 = 5/324$

* 1または2の目が少なくとも1回出る確率

* 余事象は1も2も出ない場合。つまり3, 4, 5, 6のいずれかが出る。

* 4回とも1も2も出ない確率は $(4/6)^4 = (2/3)^4 = 16/81$。したがって、少なくとも1回は1または2が出る確率は $1 - 16/81 = 65/81$

4. **条件付き確率**

* 部活動も習い事もしている確率

* 部活動をしている確率は $5/6$、習い事をしている確率は $3/5$、部活動も習い事もしていない確率は $1/15$。

* 部活動をしている確率 + 習い事をしている確率 - 両方している確率 + 両方していない確率 = 1

* $5/6 + 3/5 - x + 1/15 = 1$ を解くと $x = 5/6 + 3/5 + 1/15 - 1 = (25 + 18 + 2 - 30)/30 = 15/30 = 1/2$。

* 選んだ人が部活動をしていたときの習いごとをしている条件付き確率

* $P(習い事|部活動) = P(習い事 かつ 部活動) / P(部活動) = (1/2) / (5/6) = (1/2) \times (6/5) = 3/5$

5. **確率の乗法定理**

* A, Bがともに当たりくじを引く確率

* Aが当たりを引く確率は $3/10$。Aが当たりを引いた後、Bが当たりを引く確率は $2/9$。よって確率は $(3/10) \times (2/9) = 1/15$

* B, Cのどちらか1人だけが当たりくじを引く確率

* (Bが当たりかつCが外れ) または (Bが外れかつCが当たり)

* Aが当たりの場合: $(2/9) \times (7/8) + (7/9) \times (2/8) = 14/72 + 14/72 = 28/72 = 7/18$

* Aが外れの場合: $(3/9) \times (7/8) + (6/9) \times (3/8) = 21/72 + 18/72 = 39/72 = 13/24$

* Aが当たる確率は$3/10$、Aが外れる確率は$7/10$。

* よって確率は $(3/10) \times (7/18) + (7/10) \times (13/24) = 7/60 + 91/240 = (28 + 91)/240 = 119/240$

6. **期待値**

* 白色のカード3枚と黒色のカード2枚が入っている箱から、2枚のカードを同時に取り出すとき、取り出される白色のカードの枚数の期待値

* 2枚とも白い確率は $_3C_2 / _5C_2 = 3/10$。このとき白いカードは2枚。

* 1枚が白、1枚が黒の確率は $_3C_1 \times _2C_1 / _5C_2 = 6/10$。このとき白いカードは1枚。

* 2枚とも黒い確率は $_2C_2 / _5C_2 = 1/10$。このとき白いカードは0枚。

* 期待値は $2 \times (3/10) + 1 \times (6/10) + 0 \times (1/10) = 6/10 + 6/10 = 12/10 = 6/5 = 1.2$

3. 最終的な答え

1. **じゃんけんの確率**: ア: 1/3, イ: 2/9

2. **玉を取り出す確率**: オ: 1/14, ク: 3/7

3. **反復試行の確率、余事象の確率**: コサシス: 5/324, セソタチ: 65/81

4. **条件付き確率**: ツテ: 1/2, トナ: 3/5

5. **確率の乗法定理**: ヌネ: 1/15, ハヒ: 119/240

6. **期待値**: フへ: 6/5