大、中、小の3つのサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合の数を求めます。 (1) 目の積が3の倍数になる場合 (2) 目の積が6の倍数になる場合

1. 問題の内容

大、中、小の3つのサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合の数を求めます。

(1) 目の積が3の倍数になる場合

(2) 目の積が6の倍数になる場合

2. 解き方の手順

(1) 目の積が3の倍数になる場合

積が3の倍数になるのは、少なくとも1つのサイコロの目が3の倍数（3または6）であるときです。

まずは、すべての目の出方の総数を求めます。各サイコロは1から6の目が出るので、全事象は $6^3 = 216$ 通りです。

次に、3の倍数が出ない場合を考えます。3の倍数でない目は1, 2, 4, 5の4通りです。したがって、3つのサイコロすべてが3の倍数でない目の出る場合の数は $4^3 = 64$ 通りです。

したがって、少なくとも1つのサイコロの目が3の倍数である場合の数は、全事象からすべてが3の倍数でない場合を引いたものです。

$216 - 64 = 152$

(2) 目の積が6の倍数になる場合

積が6の倍数になるのは、積が2の倍数かつ3の倍数であるときです。

6の倍数となる条件を考えるのは難しいので、余事象を利用します。

まず、全体の場合の数は $6^3 = 216$通りです。

次に、積が6の倍数にならない場合を考えます。積が6の倍数にならないのは、

(i) 3の倍数が含まれないか、(ii) 2の倍数が含まれないか、または (iii) 2の倍数も3の倍数も含まれないか、のいずれかです。

(i) 3の倍数を含まない場合：1, 2, 4, 5の4つの目から3つのサイコロの目を決めるので、$4^3 = 64$通り

(ii) 2の倍数を含まない場合：1, 3, 5の3つの目から3つのサイコロの目を決めるので、$3^3 = 27$通り

(iii) 2の倍数も3の倍数も含まない場合：1, 5の2つの目から3つのサイコロの目を決めるので、$2^3 = 8$通り

(i)または(ii)の場合を考えるとき、(iii)が重複しているので、包除原理を使います。

したがって、積が6の倍数とならない場合は、$64 + 27 - 8 = 83$通りです。

したがって、積が6の倍数になるのは、$216 - 83 = 133$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 152通り

(2) 133通り