大、中、小の3個のサイコロを投げるとき、次の場合は何通りあるか。 (1) 目の積が3の倍数になる場合 (2) 目の積が6の倍数になる場合

1. 問題の内容

大、中、小の3個のサイコロを投げるとき、次の場合は何通りあるか。

(1) 目の積が3の倍数になる場合

(2) 目の積が6の倍数になる場合

2. 解き方の手順

(1) 目の積が3の倍数になる場合

3つのサイコロの目の積が3の倍数になるのは、少なくとも1つのサイコロの目が3の倍数（3か6）である場合である。

余事象を考える。つまり、3つのサイコロの目がすべて3の倍数でない場合を考える。

1つのサイコロの目が3の倍数でない確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。

3つのサイコロの目がすべて3の倍数でない確率は $(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$ である。

したがって、少なくとも1つのサイコロの目が3の倍数である確率は $1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$ である。

サイコロの目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りあるので、目の積が3の倍数になるのは $216 \times \frac{19}{27} = 8 \times 19 = 152$ 通りである。

(2) 目の積が6の倍数になる場合

3つのサイコロの目の積が6の倍数になるのは、積が2の倍数かつ3の倍数になる場合である。

積が3の倍数になるのは(1)で求めたように152通りである。

積が2の倍数にならないのは、すべての目が奇数の場合であり、これは $3^3 = 27$ 通りである。

したがって、積が2の倍数になるのは $216 - 27 = 189$ 通りである。

積が6の倍数にならないのは、

(i) 積が3の倍数にならない場合

(ii) 積が2の倍数にならない場合

(iii) 積が3の倍数かつ2の倍数にならない場合

(iii)はありえないので、積が6の倍数になるのは

(全体の数) - (積が3の倍数でない数) - (積が2の倍数でない数) + (積が2の倍数でも3の倍数でもない数)

$216 - (216 - 152) - (216 - 189) + 0 = 152 - 27 = 125$ 通り

別の解き方：

積が6の倍数になるのは、以下のいずれかの場合である。

(i) 少なくとも1つは6の目が出る場合

(ii) 少なくとも1つは3の目が出て、少なくとも1つは偶数の目が出る場合

(iii) 3つのうち1つが2の倍数, 1つが3の倍数

(i) の場合：

6の目が出ない場合の数は $5^3 = 125$ 通り。

よって、少なくとも1つは6の目が出る場合の数は $6^3 - 5^3 = 216 - 125 = 91$ 通り。

(ii) の場合：

3の目(3,6)の少なくとも一つと、偶数(2,4,6)の少なくとも一つを含む場合を考える。

これは複雑なので、全体から引き算していく方法で考える。

まず、積が3の倍数になるのは152通り。

積が3の倍数でないのは $4^3 = 64$ 通り。

積が偶数にならないのは $3^3 = 27$ 通り。

積が3の倍数だが、偶数にならない場合の数（つまり、奇数と3のみで構成される）: (1,3,5)のうち3が必要なので、(3,1,1), (3,3,1), (3,3,3), (3,1,5), (3,5,5), (3,3,5)

3が少なくとも一つ入る場合。奇数は(1,3,5)。

3の倍数が少なくとも1つあって、かつ、すべての数が奇数だと、必ず3が入っている。

3が入ってないと奇数だけの積は奇数になる。なので3が少なくとも一つは入る。

奇数だけの場合は、3つとも奇数。

奇数で3の倍数の組み合わせは、少なくとも1つ3が入っている。3個全部奇数なのは27個。

2の倍数が少なくとも1つは入る場合: 全体 - 奇数だけの組み合わせ = $216 - 27 = 189$

3の倍数が少なくとも1つ入って、2の倍数が少なくとも1つ入る: 全体 - (3の倍数が0個) - (2の倍数が0個) + (2の倍数も3の倍数も0個) = $216 - 4^3 - 3^3 + 0 = 216 - 64 - 27 = 125$

3. 最終的な答え

(1) 152通り

(2) 150通り