箱の中に1のカードが3枚と2のカードが2枚入っている。この箱から2枚のカードを同時に取り出し、カードに書かれた2つの数の積を記録してから元に戻す試行を2回行う。1回目に記録した2つの数の積を $a$、2回目に記録した2つの数の積を $b$ とし、$X=a \times b$ とする。以下の確率を求めよ。 (1) $a=4$ となる確率、及び $a=1$ となる確率。 (2) $X=1$ となる確率、及び $X=2$ となる確率。 (3) $X \le 4$ となるとき、$a=2$ であった条件付き確率。

1. 問題の内容

箱の中に1のカードが3枚と2のカードが2枚入っている。この箱から2枚のカードを同時に取り出し、カードに書かれた2つの数の積を記録してから元に戻す試行を2回行う。1回目に記録した2つの数の積を $a$、2回目に記録した2つの数の積を $b$ とし、$X=a \times b$ とする。以下の確率を求めよ。

(1) $a=4$ となる確率、及び $a=1$ となる確率。

(2) $X=1$ となる確率、及び $X=2$ となる確率。

(3) $X \le 4$ となるとき、$a=2$ であった条件付き確率。

2. 解き方の手順

(1)

まず、カードの取り出し方の総数を計算する。5枚のカードから2枚を取り出すので、組み合わせの数は ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

次に、$a=4$ となる場合を考える。これは2枚とも2のカードを取り出す場合なので、${}_2C_2 = 1$ 通り。

したがって、$a=4$ となる確率は $\frac{1}{10}$ 。

次に、$a=1$ となる場合を考える。これは2枚とも1のカードを取り出す場合なので、${}_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

したがって、$a=1$ となる確率は $\frac{3}{10}$ 。

(2)

$X=1$ となるのは、$a=1$ かつ $b=1$ のとき。

$a=1$ となる確率は $\frac{3}{10}$ であり、$b=1$ となる確率も $\frac{3}{10}$ であるから、$X=1$ となる確率は $\frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100}$ 。

$X=2$ となるのは、$a=1$ かつ $b=2$、または $a=2$ かつ $b=1$ のとき。

$a=1$ となる確率は $\frac{3}{10}$ 。$b=2$ となるのは、1のカードと2のカードを取り出す場合なので、その確率は $\frac{{}_3C_1 \times {}_2C_1}{10} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10}$ 。

$a=2$ となる確率は $\frac{6}{10}$ 。$b=1$ となる確率は $\frac{3}{10}$ 。

したがって、$X=2$ となる確率は $(\frac{3}{10} \times \frac{6}{10}) + (\frac{6}{10} \times \frac{3}{10}) = \frac{18}{100} + \frac{18}{100} = \frac{36}{100} = \frac{9}{25}$ 。

(3)

$X \le 4$ となるのは、$X=1, 2, 4$ のとき。

$X=1$ となる確率は $\frac{9}{100}$。

$X=2$ となる確率は $\frac{36}{100}$。

$X=4$ となるのは、$a=1, b=4$、$a=2, b=2$、$a=4, b=1$ のとき。

$a=1$ のとき、$b=4$となる確率は $\frac{1}{10}$ なので、$\frac{3}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{3}{100}$

$a=2$ のとき、$b=2$となる確率は $\frac{6}{10} \times \frac{6}{10} = \frac{36}{100}$

$a=4$ のとき、$b=1$となる確率は $\frac{1}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{100}$

$X=4$ となる確率は、$\frac{3}{100} + \frac{36}{100} + \frac{3}{100} = \frac{42}{100}$

$X \le 4$ となる確率は、$\frac{9}{100} + \frac{36}{100} + \frac{42}{100} = \frac{87}{100}$。

$X \le 4$ かつ $a=2$ となるのは、$a=2$ であり、$X=1,2,4$のいずれかである場合を考えます。$a=2$となる確率は$P(a=2) = \frac{6}{10}$

$P(X \le 4 | a=2) = \frac{P(X \le 4 \cap a=2)}{P(a=2)}$. $a=2$のとき、$b$がとりうる値は$1,2,4$

$b=1$ の確率 $\frac{3}{10}$

$b=2$ の確率 $\frac{6}{10}$

$b=4$ の確率 $\frac{1}{10}$

$a=2$でX=2の確率は、 $P(a=2 \cap X=2)=\frac{6}{10}*\frac{3}{10}=\frac{18}{100}$

$a=2$でX=4の確率は、 $P(a=2 \cap X=4)=\frac{6}{10}*\frac{6}{10}=\frac{36}{100}$

$P(X \le 4 \cap a=2)=\frac{18}{100}+\frac{36}{100}= \frac{54}{100}$

$\frac{54/100}{6/10} = \frac{54}{60}=\frac{9}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $a=4$ となる確率: $\frac{1}{10}$

$a=1$ となる確率: $\frac{3}{10}$

(2) $X=1$ となる確率: $\frac{9}{100}$

$X=2$ となる確率: $\frac{9}{25}$

(3) $X \le 4$ となるとき、$a=2$ であった条件付き確率: $\frac{9}{10}$