袋Aに1, 2, 3, 4の数字が書かれた4つの玉、袋Bに1, 2, 3の数字が書かれた3つの玉が入っている。最初に袋Aから玉を1つ取り出し、その数字を調べて袋Bに入れる。次に、玉の個数が4個になった袋Bから玉を1つ取り出す。このとき、袋Aから袋Bに入れた玉に書いてある数字と、袋Bから取り出した玉に書いてある数字が同じである確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋Aに1, 2, 3, 4の数字が書かれた4つの玉、袋Bに1, 2, 3の数字が書かれた3つの玉が入っている。最初に袋Aから玉を1つ取り出し、その数字を調べて袋Bに入れる。次に、玉の個数が4個になった袋Bから玉を1つ取り出す。このとき、袋Aから袋Bに入れた玉に書いてある数字と、袋Bから取り出した玉に書いてある数字が同じである確率を求めよ。

2. 解き方の手順

袋Aから取り出した玉の数字ごとに場合分けして考える。

(i) 袋Aから1を取り出した場合：

袋Bには1, 1, 2, 3の玉が入っている。このとき、袋Bから1を取り出す確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。袋Aから1を取り出す確率は $\frac{1}{4}$ なので、この場合の確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。

(ii) 袋Aから2を取り出した場合：

袋Bには1, 2, 2, 3の玉が入っている。このとき、袋Bから2を取り出す確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。袋Aから2を取り出す確率は $\frac{1}{4}$ なので、この場合の確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。

(iii) 袋Aから3を取り出した場合：

袋Bには1, 2, 3, 3の玉が入っている。このとき、袋Bから3を取り出す確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。袋Aから3を取り出す確率は $\frac{1}{4}$ なので、この場合の確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。

(iv) 袋Aから4を取り出した場合：

袋Bには1, 2, 3, 4の玉が入っている。このとき、袋Bから4を取り出す確率は $\frac{1}{4}$。袋Aから4を取り出す確率は $\frac{1}{4}$ なので、この場合の確率は $\frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$。

それぞれの確率を足し合わせると、求める確率になる。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{2}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{7}{16}$